Derivadas

Change is inevitable...
Change is constant.
❧ Benjamin Disraeli

Derivatives

We determine change by the use of derivatives.

\color{#90e0ef}
velocity = \lim_{∆Time \to 0} \frac{∆position}{∆Time}    ⠀⠀⠀=[m:s] = [m · s̈]

Cálculo Diferencial

Esta es la segunda rama más importante del cálculo, y se basa en la idea de derivada. Esta surgió de del problema de hallar la tangente en un punto de una curva. En cada uno de sus puntos la curva tiene una dirección que viene determinada por la tangente. En los puntos donde existe un máximo y un mínimo la tangente ha de ser horizontal, por tanto se puede descubrir la localización de los máximos y mínimos de una función hallando las tangentes horizontales. Pero, ¿cómo sabemos la dirección de la tangente en un punto cualquiera de la función? Como respuesta a esta cuestión surge la derivada.

¿Pero que puñetas tiene esto que ver con las integrales? ¿El área con la tangente? Es complicado… Poco a poco.

Otra de las utilidades de la derivada fue el cálculo de velocidades, que desarrolló newton, o el estudio de la variación.

Primera Derivada

La primera derivada de ƒ(x) se considera como la razón de cambio, gradiente, o inclinación, o la razón de cambio de y cuando cambiamos x.

Leibniz Notation

 𝖽 ƒ(x)
＿＿＿＿＿    
 𝖽ｘ

 𝖽 ƒ(x) ∶ 𝖽ｘ


Newton Notation
ẏ  

Definición

 𝖽 ƒ(x)
＿＿＿＿＿
 𝖽ｘ

=
Lim    ƒ(𝑥 + Δ𝑥)
Δ𝑥➝𝟢  ＿＿＿＿＿＿
         Δ𝑥
=
Lim   Δƒ(𝑥)
Δ𝑥➝𝟢 ＿＿＿＿
       Δ𝑥
  

Alternativamente

Lim    ƒ(𝑥 + Δ𝑥/2) - ƒ(𝑥 - Δ𝑥/2) 
Δ𝑥➝𝟢  ∶  Δ𝑥
        
---

Lim    ƒ(𝑥 + Δ𝑥) - ƒ(𝑥 - Δ𝑥) 
Δ𝑥➝𝟢  ∶  Δ𝑥

Interpretation

If  𝖽y∶𝖽ｘ > 0 
   then the function y grows with x
If  𝖽y∶𝖽ｘ < 0 
   then the function y decreases when x grows

Constant

y(x) = c
𝖽y∶𝖽ｘ = Lim y(x) - y(x+Δ𝑥) ∶ Δｘ 
      = Lim c - c ∶ Δｘ
      = 0 

The derivative of a constant is 0.

Line

y(x) = 𝚊·x
𝖽y∶𝖽ｘ = Lim y(x+Δ𝑥) - y(x) ∶ Δｘ 
      = Lim 𝚊·(x+Δ𝑥) - 𝚊·x ∶ Δｘ
      = Lim 𝚊·x - 𝚊·x  +  𝚊·Δ𝑥 ∶ Δｘ
      = Lim 𝚊·Δ𝑥 ∶ Δｘ
      = 𝚊 

The derivative of a line is a constant.

Power

y(x) = xⁿ
𝖽y∶𝖽ｘ = Lim y(x+Δ𝑥) - y(x) ∶ Δｘ 
      = Lim (x+Δ𝑥)ⁿ - xⁿ ∶ Δｘ
      = Lim - xⁿ + [ xⁿ + n·Δ𝑥·xⁿ⁻¹ + kₙ·Δ𝑥²·xⁿ⁻² .+. Δ𝑥ⁿ ]∶ Δｘ    [ kₙ = n! : k! (n-k)! ]
      = Lim [ n·Δ𝑥·xⁿ⁻¹ + kₙ·Δ𝑥²·xⁿ⁻² .+. Δ𝑥ⁿ ]∶ Δｘ    [ kₙ = n! : k! (n-k)! ]
      = Lim n·xⁿ⁻¹ + kₙ·Δ𝑥·xⁿ⁻² .+. Δ𝑥ⁿ⁻¹     [ kₙ = n! : k! (n-k)! ]
      = n·xⁿ⁻¹ 

Exponente

y(x) = ℮ˣ
𝖽y∶𝖽ｘ = Lim y(x+h) - y(x) ∶ h 
      = Lim ℮ˣ⁺ʰ - ℮ˣ ∶ h
      = Lim ℮ˣ·℮ʰ - ℮ˣ ∶ h
      = Lim ℮ˣ·(℮ʰ - 1) ∶ h
      = ...
      = ℮ˣ

Lista de Derivadas

d(c) = 0

d(xⁿ) = n•xⁿ⁻¹

d(ln(x)) = 1:x 

d(sin(x)) =   cos(x)
d(cos(x)) = - sin(x)

d(c• f(x) ) = c d(f(x))

d(f(x)ⁿ) = n•f(x)ⁿ⁻¹ d(f(x))

d( f•g) = f•g’ + f’•g