Continuidad

Continuidad es una propiedad de las funciones, puede decirse de las funciones en las que todos los puntos forman una única linea. Esta se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Es decir, todos los puntos de la función están próximos entre sí.

La primera definición se dio por el francés Agustin-Louis Cauchy en 1857:

- Sea 𝑓 una función definida en un intervalo que contenga un punto 𝚙:
𝙻im 𝑓(𝑥) = 𝖺
𝑥⟶𝚙

𝑓 es continua sii 𝑓(𝑥) = 𝖺

Entorno es cualquier intervalo abierto que contenga un punto (𝚙) como su punto medio, siendo el "Entorno de 𝚙".

En la recta de los reales. $N(𝚙)$ se utiliza para designar un Entorno, su intervalo está determinado por todos los números reales x que satisfacen p-r<x<p+r , siendo r el radio del entorno tal que r>0. En caso de que queramos establecer el radio del entorno lo representamos como $N(𝚙;r)$.

La función f(x) puede no estar definida en p, pero ha de estarlo para los valores del intervalo.

Determinar la continuidad

Para determinar si una función $𝑓(x)$ existe en un punto $p$ se deben comprobar tres condiciones:

1. $𝑓(x)$ existe en $p$

   • $∃𝑓(p)$

2. Existe el límite (por todos lados) de $𝑓(x)$ en el entorno de $p$

   • $∃ ㏐_{x⟶p}𝑓(x)=L$

     • $𝑓(⁻x)=L$
     • $𝑓(⁺x)=L$

3. El valor en $p$ es igual al límite

   • $𝑓(x)=L$

Un límite es inevitable si el Límite $L$ es diferente por distintas direcciones.

Una función es continua solo si es continua en todos sus puntos, así que se deben estudiar todos sus tramos.

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