Sucesiones convergentes

Una sucesión es una aplicación sobre un subconjunto de ℕ.

∀𝚗 ⟶ 𝑎ₙ

:=｛𝑎｝

Acotada

｛𝑎｝ es acotada si

∀𝑎ₙ : |𝑎ₙ|≤𝑘

Convergente

｛𝑎｝ es convergente si

㏐ 𝑎ₙ ≐ 𝑘
𝑛→∞

:= ∃𝜖 : ∀𝑛>𝑛ₖ : |𝑎ₙ-𝑎|<𝜖

Sucesión Harmónica

｛𝑛̈｝ =｛¹∕𝑛｝

Converge ≐ 0 

Sucesión Constante

｛𝑎｝:  𝑎ₙ ≔ 𝑘 

Converge ≐ 𝑘

Unicidad

Si existe convergencia el valor es único

｛𝑎｝: ∃!𝑘 :  𝑎∞ ≐ 𝑘 

Reductio ad Absurdum   

Cotas

|｛𝑎｝| ≤ 𝑘 ⟹
   𝑎ₙ∊𝕂 → 𝑘∊𝕂 

Composición nula

｛𝑎｝:  𝑎∞ ≐ 𝑘 
｛𝑏｝:  𝑏∞ ≐ 0 

㏐ₙ￫∞ 𝑎ₙ·𝑏ₙ ≐ 0

Composición

｛𝑎｝:  𝑎∞ ≐ 𝚊 
｛𝑏｝:  𝑏∞ ≐ 𝚋 

㏐ₙ￫∞ 𝑎ₙ﹢𝑏ₙ ≐ 𝚊＋𝚋
㏐ₙ￫∞ 𝑎ₙ﹣𝑏ₙ ≐ 𝚊－𝚋
㏐ₙ￫∞ 𝑎ₙ·𝑏ₙ ≐ 𝚊×𝚋
㏐ₙ￫∞ 𝑎ₙ⧸𝑏ₙ ≐ 𝚊⧸𝚋  if 𝚋≠𝟶

Suelo

｛𝑎｝:  ∀𝑎ₙ≥0 ⟹ 𝚊≥0

Sucesiones de Cauchy

Every convergent sequence is a Cauchy sequence.

A sequence {𝑎} is called a Cauchy sequence if

∀𝝐 | 𝝐 > 0
  ∃𝐾 ∈ ℕ : 
    n ≥ 𝐾, m ≥ 𝐾 
       ⟹ |𝑎ₙ − 𝑎ₘ| < 𝝐

Una secuencia cuya distancia entre elementos es cada vez menor.

Toda secuencia de Cauchy es Convergente y Acotada.

Criterio de convergencia

|𝑎ₙ − 𝑎ₘ| < 𝝐  ∀m∀n : ≥ 𝐾 

Composición

Si {𝑎} y {𝑏} son sucesiones de Cauchy entonces

{𝑎+𝑏} es de Cauchy