Funciones

Una relación entre dos conjuntos si cualquier elemento del conjunto inicial está relacionado con un único elemento del conjunto final.

  𝙵⊂𝔸×𝔹
  ∀𝓍∈𝔸 ➝ ∃!𝓎∈𝔹 : 𝙵(𝓍)={y}
⇳
  𝙵:𝔸➝𝔹

𝔸 : Inicial, original, dominio
𝔹 : Final
𝙵(𝔸): Imagen, recorrido, rango
      ⊂𝔹
𝙵(𝓍) = 𝓎 : Imagen de 𝓍
   𝓎∈𝔹 : 𝓎 pertenece a su conjunto original 
   𝙵⁻¹(𝓎) = { 𝓍∈𝔸∣𝙵(𝓍)=𝓎 } : Imagen Inversa

El conjunto de Aplicaciones de 𝔸 a 𝔹 se denota.

𝓕(𝔸,𝔹) 
𝔹 (superíndice) 𝔸 
𝓕(𝔸) si 𝔸=𝔹

Función Constante

𝚏: 𝔸➝𝔹 es constante
⇳
∀𝓍₁𝓍₂∈𝔸, 𝚏(𝓍₁)= 𝚏(𝓍₂)

Proyección canónica

Relación de equivalencia.

Identidad

𝙸𝙰: 𝔸➝𝔸
𝓍⟼ 𝙸𝙰(𝓍)=𝓍

  Ejemplo
  La recta real x=y

Igualdad

𝚏:𝔸⁰➝𝔹⁰
𝚐:𝔸¹➝𝔹¹
𝚏=𝚐 ⟺
⎧ 𝔸⁰=𝔸¹
⎨ 𝔹⁰=𝔹¹
⎩ 𝚏(𝓍)=𝚐(𝓍) ∀𝓍∈𝔸

Composición

𝚐∘𝚏 = 𝚐(𝚏(𝓍)) ∀𝓍∈𝔸

𝚏: 𝔸⟶𝔹
𝚐: 𝔹⟶ℂ
𝚐∘𝚏:𝔸⟶ℂ

Gramática

𝚏∘𝚐∘𝚑 = 𝚏∘(𝚐∘𝚑)=(𝚏∘𝚐)∘𝚑
𝚏∘𝚐≠𝚐∘𝚏

Función característica

χ𝔸=
⎧ 1  ⟵𝓍∈𝔸
⎨
⎩ 0  ⟵𝓍∉𝔸

Sobreyección

Todos los elementos del conjunto finale están relacionados con alguno del conjunto inicial.

∀𝓎∈𝔹, ∃𝓍∈𝔸 : 𝚏(𝓍)=𝓎

Inyección

No hay dos elementos con la misma imagen.

∀𝓍⁰𝓍¹∈𝔸
𝚏(𝓍⁰) =𝚏(𝓍¹) ⟶ 𝓍⁰=𝓍¹

𝚏(𝓍⁰) ≠ 𝚏(𝓍¹) ⟵ 𝓍⁰≠𝓍¹

Si 𝚏, 𝚐 sobreyectivas o inyectivas ambas, 𝚏∘𝚐 también.