Valor medio de una función.

Otra cosa que se puede calcular mediante una integral es el valor medio de una función (seguro que viendo el título ni se te había ocurrido). Si tienes una sucesión de valores de a, teniendo n valores el valor medio es la suma de todos dividido entre la cantidad de valores, n. Expresamos el valor medio como â y tenemos que:

â =
1  n
━  ∑  𝑎ᵢ
n  𝚒=1

o en el caso de que a sea dependiente de x, es decir,𝑎ᵢ=𝑓(𝑥ᵢ) tenemos que

â =
1  n
━  ∑  𝑓(𝑥ᵢ)
n  𝚒=1

lo que nos conduce, por equivalencia de sumatorio a integral a

Valor Medio en un Intervalo

𝐴(𝑓) : valor medio de 𝑓 en [a,b] := 

  𝟷   ⌠𝚋
━━━━━ ⎮ 𝑓(𝑥) 𝖽𝑥
 𝚋-𝚊  ⌡𝚊

ç También hay una media aritmética ponderada. Esta da diferente grado de validez (o peso) a cada una de las medida de valores de a, cuando todos tienen el mismo "peso" w=1, y es igual a la media aritmética normal. Cuando el peso de cada medición varía, el w es diferente de 1, y por tanto se utiliza la siguiente fórmula:

𝚠â =
𝚒:[1,n]
∑  𝚠ᵢ𝑎ᵢ
━━━━━━━━
∑  𝚠ᵢ
𝚒:[1,n]

𝐴(𝑓) : valor medio ponderado de 𝑓 en [a,b] := 

⌠𝚋
⎮ 𝑤(𝑥)·𝑓(𝑥) 𝖽𝑥
⌡𝚊
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
⌠𝚋
⎮ 𝑤(𝑥) 𝖽𝑥
⌡𝚊