Límites

Un sencillo formulario para hacer todos los límites que puedas.

1. Simplificar. f(x,y)
2. Intentar representar gráficamente.
3. Analiza las propiedades de f(x,y) (está elevado a par? es senoidal? le gustan los pepinillos?)
4. Resolver el límite por partes: Limites reiterados

Siendo a y b los valores de x é y del punto del cual intentamos hallar el límite.

1. El límite obtenido (l) es el candidato a límite si coincide en ambos reiterados, si no coinciden el límite no existe, hemos terminado y a tomar unas cañas.
2. Pero la vida no es tan sencillas y no solo de cañas vive el hombre. Si coinciden nos hacemos un Sandwich.
3. De qué quiero el sandwich? Es un buena pregunta. Por definición, la regla del Sandwich necesita de dos funciones, una "por encima" y otra "por debajo". Quedando, después de unas cuantas paranoyas matemáticas:

donde g es la función superior y h la inferior

La fórmula práctica para Sandwich viene a ser entonces:

1. Repetir paso 1, y listo para servir.

Definición:

𝙻im 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥→𝚙
    ⟺∀ε(ε>0 ∃δ( |𝑥-𝚙|<δ ⟶  |𝑓(𝑥)-𝑎| < δ) 

ó, la función de x existe en el intervalo (1) del punto A en la recta real de x, siempre y cuando x sea un elemento (o punto) del intervalo (2) de p; con x valor diferente a p.

Límite de función continua

𝙻im c = c
𝑥→𝚙

Límite de función identidad

𝙻im 𝑥 = 𝚙
𝑥→𝚙

Teoremas fundamentales

Sean

𝙻im 𝑓(𝑥) = 𝖠
𝑥→𝚙

𝙻im 𝑔(𝑥) = 𝖡
𝑥→𝚙

Entonces:

𝙻im 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) = 𝖠+𝖡
𝑥→𝚙

𝙻im 𝑓(𝑥)-𝑔(𝑥) = 𝖠-𝖡
𝑥→𝚙

𝙻im 𝑓(𝑥)·𝑔(𝑥) = 𝖠·𝖡
𝑥→𝚙

si A≠０
𝙻im 1∕𝑓(𝑥) = 1∕𝖠
𝑥→𝚙

si 𝖡≠０
𝙻im 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) = 𝖠/𝖡
𝑥→𝚙

Limites infinitos

ℝ̅ = {∞̚, ∞} ∪ ℝ 
  ∀𝑥∊ℝ { ∞̚ < 𝑥 < ∞ }

Se denomina una sucesión de números reales {𝑎ₙ} como con límite ¬∞

𝙻im 𝑎ₙ = ¬∞
𝚗→∞
	⟺	∀𝑘( ∃𝚗₀: 𝑎ₙ<𝑘 ∀𝚗(𝚗≥𝚗₀)) 

𝙻im 𝑎ₙ = ＋∞
𝚗→∞
	⟺	∀𝑘( ∃𝚗₀: 𝑎ₙ>𝑘 ∀𝚗(𝚗≥𝚗₀)) 

Propiedades de límites infinitos

𝙻im 𝑎ₙ = 𝑎
𝚗→∞
	
𝑎=±∞	⟹	𝙻im 1∕𝑎ₙ = 0
𝑎=0 ∧ 𝑎ₙ>0	⟹	𝙻im 1∕𝑎ₙ = ＋∞
𝑎=0 ∧ 𝑎ₙ<0	⟹	𝙻im 1∕𝑎ₙ = ￢∞

Criterio de Stoltz

Dados {𝑎ₙ} y {𝑏ₙ} que cumplan

𝙻im   𝑎ₙ－𝑎ₙ₋₁     Δ𝑎ₙ
𝚗→∞  _________ = ____ = ℓ ∈ℝ̅
      𝑏ₙ－𝑏ₙ₋₁     Δ𝑏ₙ

Si {𝑏}: Creciente y 𝑏=+∞ entonces

𝙻im   𝑎ₙ     
𝚗→∞  ____ = ℓ ∈ℝ̅
      𝑏ₙ