Images

Let us assume that $x_i$ is an element of the set $𝕏$

The element in $\color{#B9FBC0}𝕐$ that corresponds to $\color{#FBF8CC}x_i$ when put through $\color{#CFBAF0}𝑓$ is called " $\color{#FBF8CC}x_i$'s image under $\color{#CFBAF0}𝑓$ in $\color{#B9FBC0}𝕐$" or " $\color{#B9FBC0}𝑓(x_i)$ " or " $\color{#B9FBC0}y_i$ "

Domain & Range

We call the base parameter we can know, control, or find easily as the independent variable. All the possible values for this are the Domain of the function. Is the set $𝔸$ in the definition.

The Range of the function is the set $𝔹$, of all possible values for $f(x)$.

A Co-Domain is a set that contains $𝔹$, for example, $ℝ$ is the Codomain of $x^2$, but the range is $[0,∞[$.

Range(f) = ｛f(x) | x ∈ 𝔸｝

In this view, we can see that $x$ is an arbitrary value, or independent, while the $f(x)$ value is fixed as $x$ is determined, or dependent.

We can see a function as a machine. We input $x$ with values from $𝔸$ , and going through the black box of $f$ it comes in the other end transformed $f(x)$ into the $𝔹$ set.

flowchart LR

 X(x Domain)
 F[f]
 Y(y Range)
 
 X-.->F
 F-.->Y

A good example is a line of kids in an ice cream shop. In this scenario, let's say, a class is invited by the teacher because they are excellent students, each kid can choose a ball of ice cream of their favorite flavor, but only one ball of ice-cream..

The function, then, is "pick your favorite flavor": $f:= favorite()$

In our ice-cream shop, the Domain is the group of Kids $\color{#FBF8CC}｛Alice, Bob, Charlie, Daniela, Erik...｝$ the Domain of the function.

The Range of the function is the different Ice⠀Cream⠀Flavors $\color{#B9FBC0}｛Vanilla, Chocolate, Strawberry, Pistachio, Stracciatella...｝$" . We also call all available ice-creams in the shop, the co-domain.

Also, because Alice's favorite flavor is Strawberry, then the Image of the value $Alice$ is $f(Alice)= Strawberry$

Onto Functions

We say a function is onto if all the Co-Domain is also the Image. We can say that all values of $𝕐$ are used as $f(𝕏)$

One-To-One Functions

A function is one-to-one if every single input gives a different output. This is, for all $x_1 ≠ x_2$ then $f(x_1) ≠ f(x_2)$

Linear transformations

A function is $\color{#63acee}Linear$ if for every element $x ∈ 𝕏$, the function $f$ on $𝕏$ satisfies:

• $\color{#448AFF} f(x_i) + f(x_j) = f(x_i + x_j)$
• $\color{#3285e3} c·f(x) = f(c·x)$

Function representation

We can represent a function in many ways:

• Descriptively, using ordinary language and words.
• Algebraically, using symbols from algebra.
• Visually, using a function plot or graphics.
• Numerically, using tables of values.

To gain insight into the properties of the function we usually focus on some attributes:

• Zeros
  • Intersections with the axis are the zeros.
• Maximum/Minimum
  • Points where the function reaches the highest value or lowest.
  • Relative maximum or minimum are highest or smallest points inside a small interval
• Growth or decrease
  • Measured in a coefficient of difference: $\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $

Continuity

A function is continuous if, from any point of the function, you can find another point close to it, no matter how much you "zoom in". That is, no matter how close you look for a point, it exists inside a region centered in the chosen point.

Inverse

We say $g$ is the inverse of $f$ when these two relationships hold true for all possible $x$ and $y$:

• $g(f(x)) = x$
• $f(g(y)) = y$

If a function has an inverse then it is one-to-one and onto. A function that is one-to-one and onto has to have an inverse function.

Increasing or Decrasing

A function is increasing in an interval 𝕀 if when $x_1 < x_2$ then $f(x_1) < f(x_2)$

A function is decreasing in an interval 𝕀 if when $x_1 < x_2$ then $f(x_1) > f(x_2)$

Applications

Distance

Production Costs

$Cost = Materials + HoursOfLavour$

Areas of shapes

• Surface of a sphere: $S(r) = 4𝜋r²$

Visible Distance

Given the curvature of earth, the maximum distance $D$ you can possibly see from a height $h$ is $D(h) = \sqrt{2rh+h^2}$, with a radius of earth of $6,371 km$

Size of pupils

The size of your pupil in millimeters is determined by using this formula, with $x$ in lumen

R(x) = \sqrt{\frac{13+7x^{0.4}}{1+4x^{0.4}}}

Relativity

According to the Theory of Relativity, the length $L$ of a body is related to it's speed

L(v) = 10 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}

where $c$ is the speed of light (300.000 ㎞:s)

Taxes:

Taxes are calculated according to this formula in many countries

T(x) = \left\{\begin{matrix}
0 & if  \;  x \in [0, 10.000] \\
0.08x &  if \; x \in (10.000, 20.000]  \\
1600 + 0.15x & if \; x > 20.000 
\end{matrix}\right.

⚠️ Equations are not functions

But all functions are equations.

An equation is a function if only one input can produce one output.

This is, if one value of x can produce two different outputs it is not a function, but just an equation.

Una relación es un conjunto formado por valores de entradas y salidas en un Par ordenado.

{
 𝑥ℜ𝑦 | 𝑥∈𝕏, 𝑦∈𝕐
}

  ⇃ 𝑥 ⇂
  ______
  ╲︾╱𝕏╱
┌────────┐
│  ℜ     ⎸
╰────────╯
  ╱╲𝕐 ╲
 ⇃  𝑦  ⇂

Función

Una función es una relación matemática entre dos variables.
Una variable independiente y una variable dependiente.
En una función sólo existe una salida por cada entrada.

∀𝑥( ∃!𝑦 : 𝑥𝓕𝑦 )

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Puedes representar una función como una tabla, una gráfica, grafo, fórmula, descripción, diagrama...

Ejemplo: Incremento

Una aplicación que hace corresponder a un número natural, su siguiente.

• Inyectiva

ℕ→ℕ 
𝚗: ℕ
Incremento(𝚗) := 𝚗++ = 𝚗+1

• NO es suprayectiva, 0 (o 1) no es "siguiente" de ninún ℕ.

Funciones de una Variable

Se hace uso de la geometría cartesiana, en la que cada punto tiene unas coordenadas, una en x y otra en y :(x,y).

El par ordenado de coordenadas (x,y) representa la abscisa o coordenada x y la ordenada o coordenada y.

La distancia de cualquier punto a la referencia [origen con valor (0,0)] es el módulo o valor absoluto. También se puede representar cualquier número como su distancia al origen y el ángulo con el eje x en el origen. Esta es la representación vectorial.

Para representar funciones se utilizan fórmulas. Estas funciones f(x) se obtienen cuando tenemos un valor f dependiente de otro, la x. Por eso f(x) se entiende como "f dependiente de x". Cuando el valor de x varia, lo hace el de f(x) según una proporción o fórmula concreta. Esta fórmula o ley asociativa que relaciona ambos se denomina función, y el valor de f(x) se representa en el eje de la y [f(x)=y], por tanto solo le corresponde un punto por cada valor de x. El CONJUNTO de los puntos de x se denomina DOMINIO, y los de y RECORRIDO.

Para cada uno de los valores de x existe un y solo un valor de y.

Los puntos son elementos de dos conjuntos, X e Y, por tanto cada elemento ha de expresarse con un orden, da igual que sea (x,y) o (y,x), pero han de permanecer invariables durante todo el cálculo para todos los elementos. Por convenio es siempre (x,y,z,t….).

Conocido esto se puede dar otra definición de función. Es el conjunto de puntos, expresados en pares ordenados (x,y), en el que para el valor de x nunca se repite. (x,y) ∈𝒇

Así, describimos cómo se obtiene el valor de f(x) en todo el dominio de x. Por ejemplo:

Si recuerdas la fórmula del círculo en coordenadas cartesianas (venga, te la recuerdo:x²+y²=c²)

apreciarás que según la definición que tenemos solo obtenemos UN punto por cada valor de x, algo así como la mitad superior o inferior del círculo. La solución es más sencilla de lo que parece, definimos esta fórmula como la superposición de dos funciones, representadas a la vez (que ancho se quedaría el matemático). Las funciones quedan tal que:

𝑓(𝑥)= √𝑟²-𝑥²]
𝑔(𝑥)=-√𝑟²-𝑥²]

Propiedades:

Las funciones que tienen el mismo dominio se pueden sumar u obtener el producto.

 si 𝑥∈𝐷
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)  
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) - 𝑔(𝑥) 
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)  
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) / 𝑔(𝑥)  si   𝑔(𝑥)≠0