447. Vector Forms - JulTob/Mathematics GitHub Wiki

✅ EJEMPLO 1: Forma bilineal y su matriz

💡 Definición:

Una forma bilineal es una función $( f: V \times V \to \mathbb{R} )$ que asocia a dos vectores un número. Es lineal en cada variable.

👇 Vamos a definir una forma bilineal:

En $(\mathbb{R}^2)$, define:

$$ f(u, v) = 2u_1v_1 + 3u_1v_2 + 3u_2v_1 + 4u_2v_2 $$

donde $( u = (u_1, u_2) ), ( v = (v_1, v_2) )$

Esto parece un lío, pero en realidad es lo mismo que hacer:

f(u, v) = u^T A v \quad \text{con } A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

👉 Esta es la matriz de la forma bilineal.

✅ EJEMPLO 2: Calcular $(f(u, v))$

Tomemos dos vectores:

u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}

Vamos a calcular:

f(u, v) = u^T A v
  1. Calculamos $(A v)$:
A v = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 2\cdot3 + 3\cdot(-1) \\ 3\cdot3 + 4\cdot(-1) \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 6 - 3 \\ 9 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}
  1. Ahora $(u^T (Av))$ :
u^T \cdot (Av) = (1, 2) \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = 1\cdot3 + 2\cdot5 = 3 + 10 = 13

📌 Resultado: $(f(u, v) = 13)$

✅ EJEMPLO 3: Forma cuadrática asociada

Φ(u) = f(u, u) = u^T A u

Con el mismo vector $(u = (1, 2)^T)$:

  1. Calculamos $(Au)$:
A u = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2\cdot1 + 3\cdot2 \\ 3\cdot1 + 4\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 6 \\ 3 + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \end{pmatrix}
  1. Ahora $(u^T (Au))$:
(1, 2) \cdot \begin{pmatrix} 8 \\ 11 \end{pmatrix} = 1\cdot8 + 2\cdot11 = 8 + 22 = 30

📌 Resultado: $(Φ(u) = 30)$

✅ EJEMPLO 4: Forma polar

Vamos a usar la fórmula:

f_Φ(u, v) = \frac{1}{2} [Φ(u + v) - Φ(u) - Φ(v)]

Usamos:

  • $(u = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \end{pmatrix})$
  • $(v = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix})$

Ya sabemos:

  • $(Φ(u) = 30)$
  • $(Φ(v) = f(v, v) = 2(3)^2 + 2\cdot3\cdot(-1) + 4(-1)^2 = 18 - 6 + 4 = 16)$

Ahora:

  • $(u + v = (4, 1))$
  • $(Φ(u + v) = f((4, 1), (4, 1)) = 2\cdot4^2 + 2\cdot4\cdot1 + 4\cdot1^2 = 32 + 8 + 4 = 44)$

Finalmente:

$$ f_Φ(u, v) = \frac{1}{2} [44 - 30 - 16] = \frac{1}{2} [-2] = -1 $$

✅ Esto cuadra: ya antes calculamos $(f(u, v) = 13)$, pero la forma polar sería una nueva forma basada solo en $(Φ)$, que puede coincidir o no con la original (si la original no era simétrica).

✅ EJEMPLO 5: Diagonalización por congruencia

Supón que tienes una matriz simétrica:

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

Esta ya está diagonalizada, pero supón que te dan otra matriz como:

B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Quieres encontrar una base donde la forma se vea diagonal. El proceso es un poco largo (involucra operaciones simultáneas en filas y columnas), pero el resultado final es que puedes convertirla en:

D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

📌 Esto te dice que:

  • Hay un valor positivo → signo positivo.
  • Un 0 → signo neutro.

Signatura: (1, 0)
→ La forma es semidefinida positiva.

✅ EJEMPLO 6: Criterio de Sylvester

Supón esta matriz:

A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

Calculamos menores principales:

  1. Primer menor: $( \det(3) = 3 > 0 )$
  2. Segundo menor: $( \det\begin{pmatrix} 3 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 6 - 1 = 5 > 0 )$

Como todos los menores principales son positivos, entonces:

📌 A es definida positiva ✅

✅ EJEMPLO 7: Clasificación según signatura

Supón que una forma cuadrática se puede poner como:

$$ Φ(x, y) = x^2 - y^2 $$

La matriz es:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Entonces:

  • Un valor positivo → $(+1)$
  • Un valor negativo → $(-1)$

📌 Signatura: (1, 1)
→ La forma es indefinida