Dados los números de la forma n= 2^k] -1

con k natural compuesto

k | n
1 | 1
2 | 3
3 | 7
4 | 15 = 3*5
5 | 31 (p)
6 | 63 =3*3*7
7 | 127(p)
8 | 255=5*3*17
9 | 513=3*3*3*19
10| 1023= 3*11*31
11| 2047 =23*47
12| 4055=5*811

k: primo
n = 2^p -1


k: compuesto
n = 2^(c*k) -1

n= 2^c^k -1

c) Primos o compuestos, dependiendo de k

Sean a y b números naturales tales que aⁿ divide a bⁿ, entonces

b) a es siempre un divisor de b

bⁿ        aⁿ cⁿ
—— = cⁿ = ————
aⁿ         aⁿ                  

En base 5:

433
424
+===
 012
100
1300
+===
1412

El resto de la división de

434292
    11
——————
5 



0 5 10 15
1 6 11 16
2 7 12 17
3 8 13 18
4 9 14

El valor de 5^115 mod(116) es:

A) 7   B) 8   C) 9

¿Cuántas de las siguientes afirmaciones son correctas?

1. Si m.c.d. (a,b) = p, con p número primo, entonces el m. c. d. (a², b²) divide a p3.
2. Si m.c.d. (a,b) = 1 y ab es un cuadrado, entonces necesariamente a y b son cuadrados. 3)Sim.c.d.(a,b)= 1 y ab es un cuadrado, entonces a y b no son necesariamente cuadrados.

Sea n₀∊ℤ y sea M = {n∊ℤ, n > n₀).

1. Sea S un subconjunto de M tal que n₀∊S y para cada k > n₀ arbitrario, si k∊S entonces k+1∊S entonces necesariamente S≠M

2. Sea S un subconjunto de M tal que n₀∊S y para cada k ≥ n₀ arbitrario, si k∊S entonces k+1∊S entonces necesariamente S=M

3. Sea S un subconjunto de M tal que n₀∊S y para cada k > n₀ arbitrario, si k∊S entonces k+1∊S entonces necesariamente S⊆M

Sean n y k números naturales tales que 2k ≤ n. Denotemos por Xₙ, el conjunto {1,2,.,. n}. Consideremos el grafo, que denotaremos por G(n, k), que tiene como vértices los subconjuntos de Xₙ con k elementos. Dos de estos subconjuntos A y B dan origen a una arista si y sólo si A∩B = ∅ . Entonces el número de aristas de G(n, k) es:

A)      n! 
____________________
2 · (n+2k)! · (k!)²

B)      n! 
____________________
2 · (n-2k)! · (k!)²

C)      n! 
____________________
2 · (n-k)! · k!

1. Sea G un grafo. Si G es euleriano todo vértice de G tiene grado impar.
2. Sea G un grafo. Si G tiene un camino euleriano entonces o bien todo vértice tiene grado par o bien exactamente dos de los vértices tienen grado impar.
3. Un grafo es euleriano si ysolo si cada vértice tiene grado impar. ¿Cuántas de las anteriores afirmaciones son correctas?

Sea G un grafo, no pseudografo, ni multigrafo, conexo y regular con 30 aristas.

1. El número máximo de vertices que puede tener G e s 20
2. El máximo grado que pueden tener los vertices de G es 4
3. El máximo grado que pueden tener los vertices de G es 6 ¿Cuántas de las anteriores afirmaciones son correctas?

Cuál es el número de formas distintas que pueden colocarse 40 bolas de golf indistinguibles en 7 cajas numeradas de 1 a 7, de modo que en la caja i hay, al menos, el resto de la división de de 3ⁱ por 7 bolas.

Pregunta 8 Paratodo m,n,k ∈ ℕ, se tiene que

k  ⎛m⎞⎛ n ⎞
∑  ⎝i⎠⎝k-i⎠
i=0

es: A)(m-n; k) B)(m+n; k) C)(m-2n; k)