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Generalidades. Grupos. Subgrupos. Orden de un grupo. Teorema de Lagrange. Índice de un subgrupo. Subgrupos normales. Grupos cocientes.

Este tema tiene un carácter introductorio. En él se presenta los grupos, que es el objeto a estudiar en el curso, y algunas construcciones comunes a toda la matemática: las subestructuras (subgrupos), y la estructura producto (producto directo de grupos). Se estudia la clase de grupos más sencillo, los cíclicos y se obtienen primer resultado de naturaleza aritmética para los grupos finitos.

En el caso de la teoría de grupos, no toda subestructura da lugar de modo natural, a una estructura cociente, sólo los llamados subgrupos normales inducen estructura de grupo cociente, por ello en este tema se estudian los subrupos normales en detalle.

Generalidades. Grupos.

Subgrupos.

Orden de un grupo.

Teorema de Lagrange.

Índice de un subgrupo.

Subgrupos normales.

Grupos cocientes

Homomorfismos. Teorema de estructura de los grupos abelianos finitos.

En este tema se estudian los morfismos entre grupos, es decir, aquellas aplicaciones entre dos grupos que respetan la estructura. Se llaman homomorfismo y los biyectivos isomorfismos. La existencia de un isomorfismo entre grupos equivales a decir que son indistinguibles como grupos. De aquí que en esta unidad estudiemos los teoremas de isomorfía. Por último se estidiará el teorema de estructura de los grupos abelianos finitos.

Homomorfismos.

Teoremas de isomorfía.

  Teorema de estructura de los grupos abelianos finitos.

Los grupos abelianos finitamente generados. Algoritmo para la obtención del número de Betti y los coeficientes de torsión. Generadores y relaciones. Acciones de grupos sobre conjuntos.

En el tema 2 se estudia la estructura de los grupos abelianos finitos, en este tema se establecerá esta clasificación para los grupos abelianos finitamente generados, y se expondrá en que consiste presentar un grupo finitamente generado mediante un sistema generador y un conjunto de relaciones entre los elementos.

Los grupos abelianos finitamente generados.

Algoritmo para la obtención del número de Betti y los coeficientes de torsión.

Generadores y relaciones.

En la segunda parte del tema, estudiamos una de las técnicas elementales más fecundas en la teoría de grupos, las acciones de grupos sobre conjuntos, Mediante ellas obtendremos algunos resultados clásicos de la teoría de grupos. También emplearemos las acciones de grupos para obtener condiciones que garanticen la no simplicidad de un grupo, esto es, la existencia de subgrupos normales propios.

Acciones de grupos sobre conjuntos