🔱 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

🔱 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES I 61021080

2021/2022
MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES
GRADO EN MATEMÁTICAS
PRIMER CURSO
	SEMESTRE 2
OBLIGATORIAS
6ETCS
150.0H
CASTELLANO

PRESENTACIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN

La asignatura FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES I está dedicada a la formación del estudiante en el inicio del Cálculo de varias variables. Esta disciplina se ocupa del desarrollo de las herramientas del Cálculo Infinitesimal en un contexto espacial de dimensión n. Se hace especial hincapié en el caso del espacio euclídeo de dimensión 3, ya que en este espacio se puede visualizar con relativa facilidad, la gráfica de una función f : R2 R, lo que constituye un salto cualitativo importante en relación al Análisis de funciones de una variable; así, por ejemplo, el estudio del límite de una función en un punto p no se reduce únicamente al estudio de los dos límites laterales, sino a todas las posibles trayectorias por las que se puede tender a p. A continuación, el estudio se extiende al caso n-dimensional. Se insiste en que el estudio de la continuidad y de la diferenciabilidad de funciones de varias variables constituye el objectivo fundamental de la asignatura. El Cálculo Vectorial es un soporte absolutamente imprescindible para el desarrollo de teorías físicas y matemáticas con un mínimo fundamento geométrico, así como de la aplicación práctica para el estudio de fenómenos de la vida real, por lo que se considera una disciplina básica para cualquier persona con formación científica. La asignatura Funciones de varias variables I forma parte de la materia Análisis Matemático y en el plan de estudios de la titulación figura en el segundo cuatrimestre del primer curso. Esta asignatura aporta 6 créditos, equivalentes a 150 horas de trabajo. Las competencias del Grado de Matemáticas que se trabajan en particular en esta asignatura son: CED1: Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores. CEP3: Habilidad para la comunicación con profesionales no matemáticos para ayudarles a aplicar las matemáticas en sus respectivas áreas de trabajo. CEP4: Resolución de problemas. CEA1: Destreza en el razonamiento y capacidad para utilizar sus distintos tipos, fundamentalmente por deducción, inducción y analogía. CEA2: Capacidad para tratar problemas matemáticos desde diferentes planteamientos y su formulación correcta en lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución. Se incluye en esta competencia la representación gráfica y la aproximación geométrica. CEA3: Habilidad para crear y desarrollar argumentos lógicos, con clara identificación de las hipótesis y las conclusiones. CEA7: Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto en la forma oral como escrita.

REQUISITOS Y/O RECOMENDACIONES PARA CURSAR LA ASIGNATURA El nivel de acceso a la asignatura exige un Bachillerato de Ciencias o el Curso de Acceso a la Universidad con la asignatura de Matemáticas Avanzadas. Aunque en esta linea de formación se supone un curso de funciones de variable real, es recomendable haber realizado el curso de Funciones de una variable I por cuanto supone un estudio más formal del Cálculo Infinitesimal. En el plan de estudios de este Grado el curso de Funciones de una variable II es simultáneo a esta asignatura y, sin ser necesario, es recomendable cursarlo al mismio tiempo. Los primeros capítulos del programa se dedican a estudiar la geometría del espacio euclídeo por medio de los vectores del espacio. Sería útil estar familiarizado con la teoría de matrices, aunque lo que necesitaremos de éstas se tratará en el curso. Sin embargo, los conocimientos de Bachillerato de Trigonometría básica - necesarios para el estudio de las coordenadas cilíndricas y esféricas - y los de cónicas. serán considerados conocidos. Se suponen conocidas las funciones de una variable seno, coseno, exponencial y su inversa la función logaritmo neperiano. Además, también se consideran conocidas las técnicas de cálculo de límites de funciones de una variable, así como de las reglas básicas de derivación, como la regla de la cadena, derivación de un producto o un cociente. Finalmente, se recomienda conocer la notación de intervalos en la recta real y su descripción en términos de desigualdades.

EQUIPO DOCENTE ANA MARIA PORTO FERREIRA DA SILVA (Coordinador de asignatura) [email protected] 91398-7233 FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES

ANTONIO FELIX COSTA GONZALEZ [email protected] 91398-7224 FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES

HORARIO DE ATENCIÓN AL ESTUDIANTE • Tutorización a través del Curso Virtual. • Tutorización telefónica en los horarios de guardia del profesor de la Sede Central. • Tutorización postal. El Seguimiento del Aprendizaje se realizará mediante el curso virtual y los foros abiertos para ese fín. Teléfono: 91 398 72 33 Horario de guardia: Martes lectivos de 10:30 a 13:30 y de 15:00 a 16:00 horas Dirección de correo electrónico: [email protected] TUTORIZACIÓN EN CENTROS ASOCIADOS En el enlace que aparece a continuación se muestran los centros asociados y extensiones en las que se imparten tutorías de la asignatura. Estas pueden ser: • Tutorías de centro o presenciales: se puede asistir físicamente en un aula o despacho del centro asociado. • Tutorías campus/intercampus: se puede acceder vía internet. Consultar horarios de tutorización de la asignatura 61021080

COMPETENCIAS QUE ADQUIERE EL ESTUDIANTE CG4 Análisis y Síntesis CG5 Aplicación de los conocimientos a la práctica CG6 Razonamiento crítico CG7 Toma de decisiones CG8 Seguimiento, monitorización y evaluación del trabajo propio o de otros CG10 Comunicación y expresión escrita CG11 Comunicación y expresión oral CG13 Comunicación y expresión matemática, científica y tecnológica CED1 Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores CED2 Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos CEP1 Habilidad para formular problemas procedentes de un entorno profesional, en el lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución CEA4 Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento ya sea de forma teórica o práctica mediante la búsqueda de contraejemplos CEA7 Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto en la forma oral como escrita CEA8 Capacidad de relacionar distintas áreas de las matemáticas CE1 Razonamiento crítico, capacidad de evaluar trabajos propios y ajenos CEP4 Resolución de problemas

RESULTADOS DE APRENDIZAJE Los resultados de aprendizaje específicos de la asignatura se enuncian a continuación; en el apartado Contenidos de esta Guía se detallan en relación a cada epígrafe: • Manejo de la ecuacíon de una recta en forma vectorial en el plano o el espacio tridimensional, así como del plano en el espacio. • Conocimiento del producto escalar de dos vectores y su relación con la distancia entre dos puntos y con el ángulo entre dos vectores de R3 • Conocimento de la desigualdad de Cauchy-Schwarz y su interpretación geométrica. • Saber calcular la proyección ortogonal de un vector sobre otro, ambos en R3. • Conocimiento de la desigualdad triangular y su deducción a partir de la de Cauchy-Schwarz. • Saber calcular el determinante de una matriz de orden dos o tre, así como conocer sus propiedades. • El producto vectorial de dos vectores de R3. Se sabrá hacer su cálculo y conocer sus propiedades. • Conocer la interpretación geométrica de los determinantes 2 ×2 y 3 ×3. Se obtendrá manejo de las coordenadas cilíndricas y esféricas en el espacio euclídeo tridimensional. Se generalizarán los conceptos estudiados para dimensión 3 a dimensión n de manera recurrente y por analogía. • Se introducirán las funciones f : Rn Rm desde un punto de vista geométrico, haciendo referencia a la gráfica de f, lo que permitirá el estudio de algunos aspectos geométricos, como el cálculo de curvas o superficies de nivel de una gráfica. • Límite de una función f : Rn Rm cuando f tiende a un punto y continuidad de f en un punto: son puntos clave y objetivos fundamentales de la asignatura. • Diferencial de una función f : Rn Rm en un punto p. Es, como la continuidad, un objetivo fundamental del curso. El estudiante conocerá el sentido de estudiar la diferencial analizando y calculando ésta, en caso de que exista, de una función f : R2 R, cuya gráfica se puede visualizar en R3. En este sentido, se conocerá la relación con las derivadas parciales de f en p y el plano tangente a la gráfica de f en f(p). • Se conocerán los teoremas fundamentales sobre la diferenciación y sus implicaciones. Estos teoremas relacionan la diferenciación con la continuidad y las derivadas parciales. • Se conocerá la aplicación de la regla de la cadena. • Se conocerá el gradiente de una función y su relación con las derivadas direccionales. Se sabrá utilizar el gradiente para el cálculo de la derivada direccional y los planos tangentes a los conjuntos de nivel. • Se conocerá el concepto de derivada parcial. • Se sabrá calcular el Polinomio de Taylor para una función f : R2 R. • Se sabrá calcular la matriz hessiana de una función en un punto p y su utilización mediante el criterio del determinante, para obtener información acerca de p, si éste es un punto crítico. A través de estos resultados se comienzan a adquirir las competencias disciplinares, profesionales y académicas.

CONTENIDOS Tema 1. La Geometría del Espacio Euclidiano Tema 2. Continuidad Tema 3. Diferenciación Tema 4. Derivadas de orden superior. Máximos y mínimos.

METODOLOGÍA El plan de trabajo se referirá al texto base Cálculo Vectorial (J. E. Marsden y A. J. Tromba, Pearson). En él se fijan tanto los contenidos del estudio como la notación, que puede cambiar en los distintos libros que tratan de la materia. En la segunda parte de la guía de estudio (Plan de Trabajo), se concretarán orientaciones para el estudio de los temas, se insistirá en el tipo de ejercicios sobre los que el alumno deberá trabajar y se indicará un cronograma temporal sobre la distribución de contenidos. Gran parte de la formación recae sobre el trabajo personal del alumno con la bibliografía

recomendada, básica y complementaria, siempre con la ayuda del profesor de la Sede Central de la UNED, los tutores y las tecnologías de ayuda de la UNED. Los contactos con el profesor pueden ser: presenciales en la Sede Central, por teléfono, e- mail, correo postal, y el curso virtual. Se hará hincapié en el curso virtual, porque está probando ser una herramienta de enorme utilidad para los estudiantes en los últimos años: • En el foro docente-guardia virtual, donde los alumnos consultan al profesor cuestiones específicas de la asignatura que serán atendidas por éste y por distintos Profesores- Tutores.. • En el foro de consultas generales, donde se plantearán preferentemente cuestiones de caracter burocrático, de gestión o de procedimientos de evaluación. • En el foro de alumnos, donde se podrán comunicar con los otros alumnos; no es un foro tutelado, por lo que los profesores no se responsabilizarán del contenido del mismo. Finalmente, se podrán crear foros de cuestiones concretas: conjuntos, relaciones, etc... que consistirán en preguntas orientadas a la profundización y comprensión de los estudiantes; estarán abiertos durante un tiempo en el cual se contestarán los alumnos entre sí, participando el profesor sólo cuando lo considere necesario.

SISTEMA DE EVALUACIÓN TIPO DE PRUEBA PRESENCIAL Tipo de examen Examen mixto Preguntas test 4 Preguntas desarrollo 2 Duración del examen 120 (minutos) Material permitido en el examen Ninguno. Criterios de evaluación

• Se valorarán los siguientes aspectos del examen:
  • Planteamiento del problema
  • Exposición y claridad en los razonamientos.
  • Corrección en los cálculos.
  • Corrección en la presentación

% del examen sobre la nota final 100 Nota del examen para aprobar sin PEC 5 Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC 10 Nota mínima en el examen para sumar la PEC 4 Comentarios y observaciones

• El sistema no permite introducir más que un dado número de preguntas; este equipo docente pretendería tener la elección de poner 2 o 3 preguntas de desarrollo, según las circunstancias. Además, en caso de estado de confinamiento, el equipo docente podrá, bajo la autoridad conferida por el Rector, cambiar sustancialmente el tipo del examen.

PRUEBAS DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC) ¿Hay PEC? Si Descripción

• Se realizará una prueba en línea disponible en el curso virtual. Criterios de evaluación
• En caso de se optar por un test, cada pregunta dispone de varias opciones y sólo una de ellas es correcta. El acierto puntúa con un punto o dos, el fallo resta la mitad del acierto y la respuesta en blanco no suma ni resta. Si la suma es negativa, se atribuirá el valor 0. Si es de desarrollo, será constituída por dos preguntas y, como en el caso del examen, se valorará el planteamiento del problema, la exposición y claridad en los razonamientos y la corrección en los cálculos. Ponderación de la PEC en la nota final La PEC se pondera, dependiendo de la nota obtenida en la Prueba Presencial (ver última epígrafe), con un 5 % o 4% o 3% sobre la nota final. Lo dicho puede sufrir alteraciones, en caso de estado de alarma o confinamiento. Fecha aproximada de entrega Finales de Abril.

¿CÓMO SE OBTIENE LA NOTA FINAL? La fórmula es la siguiente: ( La fórmula puede sufrir alteraciones, en caso de estado de alarma o confinamiento.) Si el estudiante no ha realizado PEC la nota final será la nota de la Prueba Presencial. Si el estudiante ha realizado la PEC y la nota de la Prueba Presencial es superior a 4 y inferior a 8, la nota final se obtiene mediante el siguiente cómputo: Nota Final = (Nota PEC) x (0.05) + Nota Prueba Presencial Si el estudiante ha realizado la PEC y la nota de la Prueba Presencial es igual o superior a 8 y inferior a 9, la nota final se obtiene mediante el siguiente cómputo: Nota Final = (Nota PEC) x (0.04) + Nota Prueba Presencial Si el estudiante ha realizado la PEC y la nota de la Prueba Presencial es igual o superior a 9 la nota final se obtiene mediante el siguiente cómputo: Nota Final = (Nota PEC) x (0.03) + Nota Prueba Presencial (con un máximo de 10). Para una eventual concesión de la Matrícula de Honor, no se tendrá en cuenta la nota de la PEC

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA ISBN(13):9788490355787 Título:CÁLCULO VECTORIAL (6ª) Autor/es:Tromba, Anthony J. ; Marsden, Jerrold E. ; Editorial:PEARSON El estudiante podrá utilizar también la 5ª edición del libro de la Bibliografía Básica. En lo que se refiere al programa, las dos ediciones solo diferen por algunos ejercicios más en la 6ª edición. El estudiante seguirá las notaciones y terminología del libro en su estudio, pues ésta puede variar de unos libros a otros. La oficial será la del libro base. Los capítulos están profusamente ilustrados, lo que permite una mejor fijación de los conceptos para después hacer la generalización a dimensión arbitraria. Los conceptos UNED 10 CURSO 2021/22 fundamentales de cada tema van acompañados de un buen número de ejemplos que persiguen un doble objetivo: por un lado, está el propósito de ilustrar los conceptos presentados, por otro, constituyen una serie de ejercicios resueltos que facilitan la profundización y reflexión sobre dichos conceptos a la vez que sirvan de modelo para resolver otros ejercicios. Al comienzo del libro, así como en algunos capítulos se ha incluido una sección titulada “Notas Históricas”, que contextualizan el concepto tratado en la Historia de las Matemáticas y que pueden dar al alumno una idea de la profundidad o el valor del concepto del que se trata. Los ejercicios al final de cada capítulo deben permitir al estudiante comprobar la adquisición de conocimientos. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA ISBN(13):9788487555916 Título:PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Autor/es:Alberto Blanco ; Editorial:EDINFORD ISBN(13):9788492184750 Título:CÁLCULO II: TEORÍA Y PROBLEMAS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (2ª ed.) Autor/es:García López, Alfonsa ; Editorial:CLAGSA ISBN(13):9788493527129 Título:ANÁLISIS MATEMÁTICO II: (VARIAS VARIABLES): 90 PROBLEMAS ÚTILES Autor/es:Juan De Burgos ; Editorial:García Maroto Editores ISBN(13):9788493671228 Título:CÁLCULO VECTORIAL. DEFINICIONES, TEOREMAS Y RESULTADOS Autor/es:Burgos, Juan De ; Editorial:García-Maroto Editores ISBN(13):9788497322904 Título:PROBLEMAS RESUELTOS DE CÁLCULO EN VARIAS VARIABLES Autor/es:Venancio Tomeo, Jesús San Martín E Isaías Uña Juárez ; Tomeo Perucha ; Editorial:: PARANINFO Los libros que se han incluido en la lista de Bibliografía Complementaria se incluyen como ayuda para que el alumno tenga algunas referencias de las muchas que hay sobre el tema. El texto base es lo suficientemente didáctico para explicar los conceptos que se tratan en el curso. En los libros de Bibliografía Complementaria, el alumno puede encontrar ejercicios adicionales para realizar más práctica, si así lo desea.

RECURSOS DE APOYO Y WEBGRAFÍA • Curso Virtual. La UNED pone a disposición de los alumnos un curso virtual atendido por profesores en el cual se abren posibilidades como la comunicación casi inmediata con un tutor virtual que resolverá las dudas tanto generales como específicas de la asignatura, la comunicación entre alumnos de la asignatura en el foro de alumnos y además se irán abriendo foros con cuestiones específicas de temas concretos en el que los alumnos podrán intercambiar soluciones, correcciones a otros alumnos y en el que el profesor sólo intervendrá cuando sea necesario para reconducir el debate. • Programa de cálculo simbólico MAPLE. Los alumnos tienen acceso al programa mediante una clave que le proporcionará la UNED y con él podrán experimentar sobre diversos cálculos numéricos.