🍎 FUNCIONES DE UNA VARIABLE II

FUNCIONES DE UNA VARIABLE II 61021074 2021/2022 MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES GRADO EN MATEMÁTICAS PRIMER CURSO SEMESTRE 2 FORMACIÓN BÁSICA 6ETCS 150.0H CASTELLANO

PRESENTACIÓN Y CONTEXTUALIZACIÓN Funciones con valores reales de variable real . Punto de vista histórico Grecia Antigua: métodos infinitesimales formas de razonamiento partiendo de ideas atomicistas (Demócrito) para resolver áreas y volúmenes de ciertos conjuntos aproximaciones a algunos números irracionales método de exhaución de Eudoxo. Siglo XIX. formulación fuertemente sustentada estudio de los números reales formalmente El desarrollo historico no sigue las exposiciones sistematizadas que hoy en día se presentan El concepto de derivada anterior al de función y éste anterior al de número real formalmente descrito. Entre los primeros métodos infinitesimales que se utilizaron están los de Kepler (sXVII) y sus órbitas planetarias. Exigían métodos de integración, esto es, de calculo de áreas y volúmenes que tuvieron una expresión precisa en los métodos de Cavalieri (sXVII) que consistía en convertir figuras planas en colecciones de segmentos paralelos y volúmenes en trozos de planos paralelos. Cauchy y Riemann (sXIX). Leibnitz Sumación de Series Problemas de obtención de tangentes Reciprocidad entre los problemas de diferenciabilidad e integrabilidad. Introdujo "d" como símbolo de la diferencial Halló las reglas básicas de derivada de constantes, suma, producto. La notación para la derivada y la integración se debe a Leibnitz facilitó la formalización de dichos conceptos. Problemas prácticos (1696) "Análisis Infinitesimal" de G.F. L´Hopital. (s.XVIII) Teoría de funciones se antepuso a los métodos infinitesimales como necesidad de fundamentación Leonard Euler utilizaba la expresión en series infinitas de las funciones pensando que todas admitían este tipo de expresión. Necesidad de formalizar el concepto de límite Cauchy Teoría de funciones (s.XIX) Análisis en los límites. Curso de Análisis (1821) Resumen de conferencias sobre el cálculo de infinitesimales (1823) Conferencias sobre aplicaciones del Análisis a la Geometría (Dos tomos 1826 y 1828).

1. Concepto de convergencia
2. Las funciones elementales
3. Las series infinitas
4. Fundamenta el Cálculo diferencial e integral.

El lector observará que el orden en el que va a estudiar los conceptos no es ni mucho menos el histórico sino una sistematización de lo que se ha producido a lo largo de varios siglos. Mucho de lo que hemos ido contando se desarrollará a lo largo del curso en las asignaturas relativas a la Teoría de funciones. Al ser la segunda asignatura dentro de la materia Análisis Matemático los contenidos que en ella se imparten son básicos y por lo tanto inician al estudiante en el estudio de los tópicos básicos de la teoría de funciones y fundamentan todos los posteriores con aplicación a otras materias como la Geometría y Topología, Física, Ecuaciones diferenciales, Métodos numéricos y Estadística. La asignatura es fundamental en el perfil profesional de un graduado en Matemáticas, pues contiene aspectos teóricos y prácticos, como el cálculo integral y las series de funciones, imprescindibles en el conocimiento para el análisis y resolución de cualquier problema teórico o práctico de muchas áreas propias del título o ajenas como la economía, física, química, ambientales, ingenierías, etc...

REQUISITOS Y/O RECOMENDACIONES PARA CURSAR LA ASIGNATURA El nivel de acceso a la asignatura exige un Bachillerato de Ciencias o el Curso de Acceso a la Universidad con la asignatura de Matemáticas Especiales ya que en ellos se aprenden técnicas imprescindibles y conllevan una familiarización con los tipos de funciones elementales. Obviamente y por su situación dentro del grado, es muy conveniente haber cursado Funciones reales de una variable I. Es conveniente que se realicen las autoevaluaciones del Curso 0 para localizar las posibles deficiencias que pueda traer el estudiante y subsanarlas con algunos de los textos de bachillerato o de la asignatura de Matemáticas Especiales del Curso de Acceso a la Universidad. ¿Qué conocimientos debe de traer el alumno para afrontar la asignatura con comodidad?. Estar familiarizado con las funciones polinómicas, racionales, logaritmo , exponencial, trigonométricas, e inversa de éstas, aunque dentro del contenido del curso se dan las definiciones rigurosas de éstas y se extraen las propiedades. El concepto de derivada e integral, tanto a nivel teórico como práctico aplicado especialmente a las funciones anteriores. También serán necesarios conocimientos básicos de la geometría del plano euclídeo y afín. Un repaso a los libros de Matemáticas del Bachillerato o al libro de Matemáticas Especiales del CAU proveerá de una situación óptima para el desarrollo del curso de Funciones de una Variable I y II. De hecho aunque el texto base, por seguir un desarrollo sistemático formaliza las funciones básicas con técnicas integrales, desde el principio se darán por sabidas y en su momento se aconsejarán ejercicios, que completando los del texto base, utilicen dichas funciones.

EQUIPO DOCENTE JOSE LEANDRO MARIA GONZALEZ Coordinador de asignatura [email protected] 913987231 FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES

FRANCISCO JAVIER CIRRE TORRES [email protected] 913987235 FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES

HORARIO DE ATENCIÓN AL ESTUDIANTE Curso Virtual. Tutorización telefónica en los horarios de guardia del profesor de la sede Central. Tutorización postal. Tutorización presencial en la Sede Central en los horarios de guardia del profesor. El Seguimiento del Aprendizaje se realizará mediante el curso virtual y los foros abiertos para ese fín Horario de guardia: Miércoles de 9:30 a 13:30 Despacho 122 de la Facultad de Ciencias Teléfono: 91 398 7231 [email protected]

TUTORIZACIÓN EN CENTROS ASOCIADOS En el enlace que aparece a continuación se muestran los centros asociados y extensiones en las que se imparten tutorías de la asignatura. Estas pueden ser: • Tutorías de centro o presenciales: se puede asistir físicamente en un aula o despacho del centro asociado. • Tutorías campus/intercampus: se puede acceder vía internet. Consultar horarios de tutorización de la asignatura 61021074

COMPETENCIAS QUE ADQUIERE EL ESTUDIANTE CG4 Análisis y Síntesis CED1 Comprensión de los conceptos básicos y familiaridad con los elementos fundamentales para el estudio de las Matemáticas superiores

CG5 Aplicación de los conocimientos a la práctica CED2 Destreza en el razonamiento cuantitativo, basado en los conocimientos adquiridos

CG6 Razonamiento crítico CEP1 Habilidad para formular problemas procedentes de un entorno profesional, en el lenguaje matemático, de manera que faciliten su análisis y resolución

CG8 Seguimiento, monitorización y evaluación del trabajo propio o de otros CEA4 Habilidad para detectar inconsistencias de razonamiento ya sea de forma teórica o práctica mediante la búsqueda de contraejemplos

CG10 Comunicación y expresión escrita CEA7 Habilidad para presentar el razonamiento matemático y sus conclusiones de manera clara y precisa, de forma apropiada a la audiencia a la que se dirige, tanto en la forma oral como escrita

CG11 Comunicación y expresión oral CEA8 Capacidad de relacionar distintas áreas de las matemáticas

RESULTADOS DE APRENDIZAJE Los resultados específicos de la matería Análisis Matemático que se obtienen con la asignatura son: Entender el concepto de integral como descubrimiento que soluciona el antiguo problema del cálculo de áreas.(CED1,CEA1) Relacionar las ideas geométricas y analíticas que subyacen al concepto de integral. (CEA8) Comprender la estrecha relación entre los conceptos de integral y derivada mediante el Teorema Fundamental del Cálculo, el teorema del valor medio. (CED1, CEP4) Calcular integrales mediante la Fórmula de Barrow. (CED1, CEP4) Avanzar en el cálculo de primitivas para poder uasr los resultados anteriores. (CEA1, CEP4, CEA3 y CEA4) Manejar ejemplos y contraejemplos de funciones relacionadas con la integral.(CED1,CED2, CEA3, CEA4 y CEA8) Formalizar las funciones elementales mediante el uso de las integrales. (CED1,CEA1, CEA6) Conocer los métodos de cálculo asociados a las series de funciones, su relacionados con la derivada y la integral. (CED1 CEA8) Entender el concepto de integrales impropias y su relación con las series numéricas. Manejar las integrales eulerianas y sus fórmulas fundamentales. (CEP4, CEA3) Cálculo de series de potencias. Relacionar las series de potencias con la fórmula de Taylor.(CD1, CEA2, CEA8) A través de estos resultados se comienzan a adquirir las competencias disciplinares, profesionales y académicas. Específicamente, en la asignatura se fomenta la comprensión del concepto de límite de funciones y aquellos que le van asociados, integral como herramienta de cálculo y como concepto primario del Análisis Matemático. De hecho al ser una asignatura eminentemente básica, fundamenta todas las competencias descritas en la memoria de grado. (Véase memoria de grado de Matemáticas).

CONTENIDOS Integral de Riemann Teoremas Fundamentales del Cálculo Funciones logarítmicas y exponenciales Funciones trigonométricas Cálculo de primitivas Integrales Impropias Integrales Eulerianas Sucesiones de Funciones Series de Funciones Series de Potencias

METODOLOGÍA El plan estudio se referirá al texto base "Análisis Matemático" (J.Fernánde Novoa, UNED). En él se fijan tanto los contenidos del estudio como la notación, que puede cambiar en los distintos libros que tratan de la materia. Gran parte de la formación recae sobre el trabajo personal del alumno con la bibliografía recomendada, básica y complementaria, siempre con la ayuda del profesor de la Sede Central de la UNED, los tutores y las tecnologías de la UNED de ayuda. Los contactos con el profesor pueden ser: Presenciales en la Sede Central, por teléfono, e- mail, correo postal, y el curso virtual. En el curso virtual vamos a hacer hincapié, porque está siendo una herramienta de enorme utilidad para los estudiantes en los años pasados. · En el foro docente-guardia virtual los alumnos consultan al profesor cuestiones específicas de la asignatura que serán atendidas por éste. · En el foro de consultas generales se plantearan preferentemente cuestiones de caracter burocrático, de gestión o de procedimientos de evaluación. · En el foro de alumnos se podrán comunicar con los otros alumnos, no es un foro tutelado por lo que los profesores no tendrán por qué entrar en él. · Finalmente se podrán crear foros de cuestiones concretas: derivabilidad, continuidad, etc... que consistirán en preguntas orientadas a la profundización y comprensión de los estudiantes, estarán abiertos durante un tiempo en el cual se contestarán los alumnos entre sí, participando el profesor sólo cuando lo considere necesario.

SISTEMA DE EVALUACIÓN TIPO DE PRUEBA PRESENCIAL Tipo de examen Examen de desarrollo Preguntas desarrollo 4 Duración del examen 120 (minutos) Material permitido en el examen Ninguno Criterios de evaluación Se evalúa sobre 10 puntos especificando en cada pregunta su puntuación. SI SE REALIZA PEC: Los puntos obtenidos en la prueba presencial serán el 90% de la calificación final que se obtendrá sumando estos al 10% de la nota de la PEC. NOTA FINAL = 0.9 x NOTA PRUEBA PRESENCIAL + 0.1 x NOTA PEC. SI NO SE REALIZA PEC: NOTA FINAL = NOTA PRUEBA PRESENCIAL % del examen sobre la nota final Nota del examen para aprobar sin PEC 5 Nota máxima que aporta el examen a la calificación final sin PEC 10 Nota mínima en el examen para sumar la PEC 0

PRUEBAS DE EVALUACIÓN CONTINUA (PEC) ¿Hay PEC? Descripción TEST ON LINE, en una fecha especificada en el curso virtual a travésde la plataforma. Criterios de evaluación Cinco preguntas tipo test con tres opciones que se valoran 2 puntos respuesta correcta, -0,5 puntos respuesta no correcta, 0 puntos pregunta sin respuesta. Ponderación de la PEC en la nota final 10% Fecha aproximada de entrega Se anunciará en el curso virtual con mucha antelación

¿CÓMO SE OBTIENE LA NOTA FINAL? SI SE REALIZA PEC: Los puntos obtenidos en la prueba presencial serán el 90% de la calificación final que se obtendrá sumando estos al 10% de la nota de la PEC. NOTA FINAL = 0,9* NOTA PRUEBA PRESENCIAL + 0,1 NOTA PEC. SI NO SE REALIZA PEC: NOTA FINAL = NOTA PRUEBA PRESENCIAL

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA ISBN(13):9788436216677 Título:ANÁLISIS MATEMÁTICO I (4ª) Autor/es:Fernández Novoa, Jesús ; Editorial:U.N.E.D. El alumno seguirá la notación del libro en su estudio, pues ésta tiene algunas diferencias de unos libros a otros. La oficial será la del libro base. La materia de la asignatura "Funciones de una variable II" corresponde a la unidad 3, 4 y 5 del libro básico. En cualquier caso desde integral de riemann hasta las series de potencias inclusive. Véase la programación de los contenidos.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA "Calculus vol. 1 y 2" ( M. Spivak, REVERTÉ) . Es un libro en el que se agrupan los teoremas de forma elegante con muchísimos ejemplos y gráficos que aclaran la teoría. Los problemas tienen varios niveles desde ejercicios hasta problemas más complicados. La exposición es brillante. "Calculus, suplemento de problemas" ( M. Spivak, REVERTÉ) En este libro se resuelven los ejercicios plantedos en el libro anterior. "Calculus" (T.M. Apostol) Amplio tratado de la teoría de funciones a nivel elemental, con multitud de ejemplos.

"Calculo I" (A.García, F. Gutierrez, y otros. Libreria AGLI). Un magnífico libro de problemas con introducciones teóricas. Tiene la virtud además de utilizar en la resolución de algunos problemas programas de cálculo simbólico. "Análisis Matemático" (E. Linés, REVERTÉ) Un libro de enorme profundidad con resultados potentes que superan los contenidos del programa pero que es excelente como libro de consulta, tiene contrajemplos difíciles de encontrar agrupados en otros textos). "Teoría y Problemas de Cálculo Integral" (Pastor, Varela, CRISSER). Es un libro de

problemas con un desarrollo progresivo del cálculo integral, es un libro casi imprescindible para recordar las técnicas de integración y algunas de sus aplicaciones. Además tiene problemas del siguiente curso de funciones. "Cálculo" (S. Lang, ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA). Libro Teoría con un desarrollo distinto al Texto Base. Es un libro de consulta y ampliación.

RECURSOS DE APOYO Y WEBGRAFÍA · Curso Virtual. La UNED pone a disposición de los alumnos un curso virtual atendido por profesores en el cual se abren posibilidades como la comunicación casi inmediata con un tutor virtual que resolverá las dudas tanto generales como específicas de la asignatura, la comunicación entre alumnos de la asignatura en el foro de alumnos y además se irán abriendo foros con cuestiones específicas de temas concretos en el que los alumnos podrán intercambiar soluciones, correcciones a otros alumnos y en el que el profesor sólo intervendrá cuando sea necesario para reconducir el debate. · Página de Trabajo del curso virtual de la asignatura donde hay vídeos, ejercicios resueltos y mucha información sobre el desarrollo esperado del curso.