🎯 Parámetros y Estimadores

En teoría de muestreo hay una distinción que parece pequeña, pero sostiene casi todo el edificio:

⚜️ Un parámetro pertenece a la población.
⚜️ Un estimador pertenece a la muestra.

Confundirlos es una de las formas más rápidas de perder claridad.

Imagina el escenario: Eres un policía de la Europol, investigando un caso de corrupción política monumental. Investigando, interceptas un yate del contable de la trama, que físicamente entregaba los sobres a los políticos involucrados. Cada sobre contiene cantidades de efectivo. El tiempo corre. Cuando llegues a tierra los informantes de la trama darán la noticia. Debes pedir una orden ya para que ningún sospechoso escape.

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🔰 1. El marco: población fija, muestra aleatoria

Partimos de una población finita.

$$ |U| = N $$

En nuestro caso, el universo de la población son todos los sobres. N es el número de sobres. Rápidamente haces montones de 10 y los ordenas en filas de diez: 6 filas, así que 6 filas de 10 montones de 10 sobres: 6·10·10 = 600 sobres.

con valores fijos asociados a cada unidad:

$$ y = (y_1,y_2,\dots,y_N) $$

Las cajas llenas de todos los sobres.

Aquí hay una idea esencial:

🏵 Los valores poblacionales ya existen.
No son aleatorios. Lo aleatorio es qué unidades entran en la muestra.

La muestra (s) será un subconjunto de (U), normalmente de tamaño (n).

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⚙️ 2. ¿Qué es un parámetro?

Un parámetro es una cantidad numérica que describe una propiedad de toda la población.

No depende de qué muestra haya salido.
Depende del conjunto completo (U).

Algunos de los parámetros más importantes son:

• el total poblacional
• la media poblacional
• la varianza o cuasivarianza poblacional

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⚙️ 3. ¿Qué es un estimador?

Un estimador es una regla, una función construida a partir de la muestra, que intenta aproximar un parámetro poblacional.

Si la muestra cambia, el estimador cambia.

⚠️ El parámetro es fijo.
El estimador es aleatorio.

Por eso solemos escribir:

• parámetro: (T)
• estimador: (\hat{T})

donde el “sombrero” indica que estamos mirando una aproximación construida desde la muestra.

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📦 Totales

🔰 4. El total poblacional

El total poblacional de la variable (y) es

$$ t_y = \sum_{i \in U} y_i $$

Este parámetro responde a preguntas como:

• ¿cuál es el ingreso total de todos los hogares?
• ¿cuántos árboles hay en total?
• ¿cuál es la suma total del gasto mensual?

El total es la cantidad más “bruta” y directa: simplemente suma toda la población.

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⚙️ 5. Un estimador del total

Como no observamos toda la población, necesitamos estimarlo a partir de la muestra.

Bajo muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento (MAS), un estimador natural del total es:

$$ \hat{t}_y = N ,\bar{y}_s $$

donde

$$ \bar{y}s = \frac{1}{n}\sum{i \in s} y_i $$

es la media muestral.

La lógica es simple:

🏵 Si la muestra representa bien a la población,
entonces la media de la muestra, multiplicada por (N), debe aproximar el total.

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📏 Medias

🔰 6. La media poblacional

La media poblacional es

$$ \bar{Y} = \frac{1}{N}\sum_{i \in U} y_i = \frac{t_y}{N} $$

Es, sencillamente, el valor promedio de la variable en toda la población.

La media responde a preguntas como:

• ingreso medio por hogar,
• altura media,
• gasto medio,
• satisfacción media.

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⚙️ 7. Un estimador de la media

Bajo MAS, el estimador más natural de la media poblacional es la media muestral:

$$ \hat{\bar{Y}} = \bar{y}s = \frac{1}{n}\sum{i \in s} y_i $$

Este estimador es especialmente importante porque:

• es simple,
• es intuitivo,
• y bajo muchos diseños básicos es insesgado.

Eso significa que, en promedio sobre todas las muestras posibles,

$$ E_d(\bar{y}_s) = \bar{Y} $$

donde (E_d) indica esperanza respecto del diseño muestral.

⚜️ No dice que cada muestra acierte.
Dice que el procedimiento no se desvía sistemáticamente.

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📐 Varianzas y Cuasivarianzas

⚠️ 8. Aquí empieza la confusión habitual

La palabra “varianza” se usa a veces de forma imprecisa.
En muestreo conviene distinguir dos cantidades muy próximas, pero no idénticas:

• la varianza poblacional
• la cuasivarianza poblacional

La diferencia está en el denominador.

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🔰 9. Varianza poblacional

La varianza poblacional se define como

$$ \sigma_U^2 = \frac{1}{N}\sum_{i \in U}(y_i - \bar{Y})^2 $$

Mide la dispersión media de los valores alrededor de la media poblacional.

Es la versión más “literal” de la idea de promedio de desviaciones cuadráticas.

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🔰 10. Cuasivarianza poblacional

La cuasivarianza poblacional se define como

$$ S_U^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i \in U}(y_i - \bar{Y})^2 $$

Es casi igual que la varianza, pero cambia el divisor:

• varianza: divide entre (N)
• cuasivarianza: divide entre (N-1)

Ambas contienen la misma información estructural, pero la cuasivarianza suele ser más cómoda en teoría de muestreo.

De hecho, ambas están relacionadas por:

$$ \sigma_U^2 = \frac{N-1}{N} S_U^2 $$

y equivalentemente,

$$ S_U^2 = \frac{N}{N-1}\sigma_U^2 $$

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💡 11. ¿Por qué aparece la cuasivarianza tan a menudo?

Porque el estimador muestral clásico de dispersión,

$$ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i \in s}(y_i - \bar{y}_s)^2 $$

estima de forma natural la cuasivarianza poblacional (S_U^2), no la varianza con divisor (N).

Bajo MAS, se cumple:

$$ E_d(s^2) = S_U^2 $$

Eso hace que (S_U^2) sea especialmente útil como parámetro de referencia.

🏵 La cuasivarianza no es una rareza.
Es la versión que encaja mejor con la estimación insesgada desde muestras.

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⚙️ 12. Estimadores de dispersión

Si queremos estimar la cuasivarianza poblacional, usamos:

$$ \hat{S}U^2 = s^2 = \frac{1}{n-1}\sum{i \in s}(y_i - \bar{y}_s)^2 $$

Si queremos estimar la varianza poblacional con divisor (N), entonces una versión coherente es:

$$ \hat{\sigma}_U^2 = \frac{N-1}{N}, s^2 $$

porque el parámetro objetivo cumple:

$$ \sigma_U^2 = \frac{N-1}{N}S_U^2 $$

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🧠 13. Resumen conceptual: qué pertenece a dónde

Objeto	Símbolo típico	Pertenece a	Naturaleza
Total poblacional	(t_y)	población	fijo
Media poblacional	(\bar{Y})	población	fijo
Varianza poblacional	(\sigma_U^2)	población	fijo
Cuasivarianza poblacional	(S_U^2)	población	fijo
Estimador del total	(\hat{t}_y)	muestra	aleatorio
Estimador de la media	(\bar{y}_s)	muestra	aleatorio
Estimador de la cuasivarianza	(s^2)	muestra	aleatorio

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☯ 14. La idea profunda

La teoría de muestreo no consiste solo en calcular medias o sumas.

Consiste en distinguir con precisión tres niveles:

• la realidad poblacional, que es fija;
• la muestra observada, que es parcial;
• y la regla de estimación, que conecta ambas.

⚜️ El parámetro responde a: “¿cómo es la población?”
⚜️ El estimador responde a: “¿qué puedo decir sobre ella a partir de esta muestra?”

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🪄 15. Fórmulas clave de un vistazo

Parámetros poblacionales

$$ t_y = \sum_{i \in U} y_i $$

$$ \bar{Y} = \frac{1}{N}\sum_{i \in U} y_i $$

$$ \sigma_U^2 = \frac{1}{N}\sum_{i \in U}(y_i - \bar{Y})^2 $$

$$ S_U^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i \in U}(y_i - \bar{Y})^2 $$

Estimadores muestrales bajo MAS

$$ \hat{t}_y = N,\bar{y}_s $$

$$ \bar{y}s = \frac{1}{n}\sum{i \in s} y_i $$

$$ s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i \in s}(y_i - \bar{y}_s)^2 $$

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🎯 Conclusión

Antes de discutir si un estimador es bueno, malo, sesgado o eficiente, hay que fijar una pregunta más elemental:

🔰 ¿Qué cantidad poblacional estamos intentando estimar?

Esa cantidad es el parámetro.

Y solo después aparece la segunda pregunta:

⚙️ ¿Qué regla construiremos a partir de la muestra para aproximarlo?

Esa regla es el estimador.

Toda inferencia muestral vive en esa tensión:

🏵 una población fija,
🏵 una muestra parcial,
🏵 y una estimación que intenta tender un puente entre ambas.