🌌 Teoría de Muestras

La inferencia estadística no empieza con fórmulas. Empieza con una limitación:

⚜️ No podemos observar toda la realidad.

Y entonces hacemos algo muy humano: Elegimos una parte, y le pedimos que represente el todo.

A esa parte la llamamos muestra.

🔰 El Problema Fundamental

Queremos estimar propiedades de una población:

• Media
• Total
• Varianza

Pero solo observamos un subconjunto.

Esto introduce una tensión inevitable:

⚠️ ¿Hasta qué punto la muestra representa a la población?

Toda la teoría de muestreo gira alrededor de esta pregunta.

🏵 Diseños de Muestreo

No todas las muestras son iguales. El cómo seleccionamos define lo que podemos inferir.

🍕 Muestreo Aleatorio Simple (MAS)

Cada elemento tiene la misma probabilidad de ser elegido.

$$ π(y_i) = N^÷ $$

• 🔰 Modelo base: simetría total
• ⚜️ Fácil de analizar
• ⚠️ Ignora estructura de la población

👉 Es el punto de partida teórico.

🍰 Muestreo Estratificado

Dividimos la población en estratos homogéneos y muestreamos dentro de cada uno.

• ⚜️ Reduce varianza
• 💡 Introduce conocimiento estructural
• ☯ Combina control + aleatoriedad 👉 Aquí empezamos a “entender” la población antes de muestrear.

🍱 El muestreo por conglomerados

Seleccionamos grupos completos (clusters), no individuos.

• ⚜️ Más barato y práctico
• ⚠️ Mayor varianza si los grupos son heterogéneos
• 💡 Útil cuando el acceso individual es costoso 👉 Es una decisión logística tanto como estadística.

⚙️ Estimadores

Una muestra no es el objetivo. Es un medio para construir estimadores:

• Media muestral → estima la media poblacional
• Total estimado → escala la muestra
• Varianza → mide incertidumbre

🏵 Un estimador es una función:

$$ estimador(muestra) \rightarrow Propiedad Poblacional $$

⚠️ Insesgadez

Un estimador es insesgado si:

🔰 En promedio, acierta.

$$ E(estimador)=valor_real $$

• No garantiza precisión en cada muestra
• Pero evita errores sistemáticos

👉 Es una propiedad de justicia estadística.

⚖️ Tamaño Muestral Óptimo

Se decide por un equilibrio entre

📈 Tamaño ↑	Precisión ↑	💰 Coste ↑

🏵 Es un Problema de optimización:

$$ min\ cost(n) \quad \text{sujeto a} \quad error(n) \leq tolerancia $$

No buscamos “más datos”. Buscamos los datos suficientes.

🪄 Asignación Óptima (Neyman)

En muestreo estratificado:

⚜️ No todos los estratos deben recibir el mismo esfuerzo. La asignación de Neyman dice:

• Más muestra donde hay más variabilidad
• Menos donde todo es homogéneo

👉 Idea clave:

$$ n_h∝N_h​⋅σ_h​ $$

Donde:

• $N_h$: tamaño del estrato
• $σ_h$: variabilidad

🏵 Muestreamos más donde hay más información.

☯ Visión Global

La teoría de muestras no solo trata de recoger datos. Trata de diseñar formas inteligentes de recogerlos.

• Ignoramos gran parte de la población
• Pero lo hacemos con estructura
• Y controlamos el error que introducimos

⚜️ Una buena muestra no es grande. Es representativa bajo un modelo explícito.