B. Topology: Euclidean Space - JulTob/Analysis GitHub Wiki

Espacio Euclideo ℝⁿ

Topología

Formalizar la noción de proximidad.
Establece un lenguaje para hablar de límites y extremidad.

Espacio Euclideo

Espacio vectorial dotado de un producto escalar.

ℝⁿ = ℝ×ℝ×ℝ×ℝ×ℝ× ... --  n times
{(𝑥₁,𝑥₂,𝑥₃.,.𝑥ₙ) : 𝑥ᵢ∊ ℝ ; i: 1,2,3.,.n} --  coordenadas n-tuplas

𝔸×𝔹 = {(𝖺,𝖻) : 𝖺∊𝔸, 𝖻∊𝔹 }  --  Cartesian parallel addition

Operations

Necessary and sufficient operations for all ℝⁿ

--   Ｓｕｍａ
A,B: ℝⁿ
A + B = (a₁.,.aₙ) + (b₁.,.bₙ) 
      = ( a₁+b₁ , a₂+b₂ .,. aₙ+bₙ ) 

--   Ｅｓｃａｌａｒ 
𝛼·A = ( 𝛼a₁ , 𝛼·a₂ .,. 𝛼·aₙ )

So we define ℝⁿ as

-- A field that contains addition and scaling (by a scalar)
(ℝⁿ,+,·ℝ)

Function

𝑓 is an application for A into B. Aplicación de A en B.

It assigns for every a an image on B. Asigna a cada a de A una imagen en B

𝑓: A→B
  a→𝑓(a)

Scalar Product on ℝⁿ

Formally

<•,•> : 
  ℝⁿ×ℝⁿ→ℝ
<A,B> := 
  ∑aₙ·bₙ = a₁·b₁ + a₂·b₂ .+. aₙ·bₙ

Norma Euclide en ℝⁿ

Tamaño de un vector Formally

||•|| : 
  ℝⁿ→ℝ
x → ||x|| := 
  √<xₙ,xₙ> = √(x₁² + x₂² .+. xₙ²)

Desigualdad de Cauchy-Schuvarz

∀x, ∀y ∊ ℝⁿ 
  se tiene:
|<x,y>| ≤ ||x|| * ||y||

Angulo no orientado de dos vectores no nulos

de C-S: 
   |<x,y>|   
_____________   ≤  1 , ≥ -1   :=  coseno
||x|| * ||y||

𝛼 = arcos( <x,y>/|x||y| )

y por tanto
<x,y> = |x||y| cos𝛼
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