Euler's formula (kinematics of a rigid body)

Скорость равна Путь разделить на время.

Связывает:

Время (t) в контексте теплового или упругого процесса. Это первая горизонтальная линия, клетка номер три.

Длинну пути (l). Вторая горизонтальная графа, клетка номер три.

Скорость (v). Третья горизонтальная линия, клетка номер четыре.

Euler

Измерение расстояния и скорости.

Чтоб лучше понять какой метод для вычисления пути был изобретен Эльером и Лейбницем рассмотрим вначале нашу подвижную установку. А потом постараемся понять догонит ли скороход Ахилес черепаху.

Первая машина.

На платформу с колесиками поставим сосуд с маслом с открытым тонким краником. Масло не будет вытекать сплошной струйкой, но за счет густоты и вязкости будет капать по капельке. Причем капельки будут падать через одинаковые промежутки времени. Потому что как мы узнали выше - капля на краю трубки это баланс сил поверхностного натяжения масла и сил смачивания на краю трубки. В нашем предыдущем опыте масло смачивало воду и за счет сил поверхностного натяжения масла образовывало ровный круг.

Если покатить такую машину, то наш путь будет помечен капельками масла. Чем быстрее мы будем катить установку - тем больше будет расстояние между каплями.

Парадокс Зенона: Ахилес и черепаха.

Черепаха двигается медленнее Ахилеса. За то время как Ахилес делает свой 1 шаг, черепаха успевает проползти только половину шага Ахилеса. Предположим что Ахилес дал фору черепахе в 1 шаг. Черепаха расположилась в 1 шаге впереди Ахилеса.

Началось соревнование и одновременно с черепахой Ахилес сделал 1 шаг. Но черепаха в это же время успела продвинуться на пол шага перед Ахилесом. Ахилес продвинулся и на эти пол-шага, но черепаха успела оказаться впереди Ахилеса на четверть шага.

Так как мы изучили предыдущую тему, то можем сказать что когда расстояние уменьшиться до размера нескольких молекул (10 в минус седьмой степени мм, или 10 в минус 9 степени метра или 10 ангстрем), то мы на глаз не сможем различить разницу в положении черепахи и Ахилеса. Поэтому можно считать что оба участника соревнований на одной линии и Ахилес в этот момент догнал Черепаху.

Но так как Ахилес за 1 раз проходит в 2 раза больше черепахи, то в следующий момент времени он опередит черепаху минимум на полшага.

Вернемся к нашей установке.

Если мы захотим сделать две модели Ахилеса и черепахи, то мы должны добиться чтоб капли на каждой из двух наших тележек капали с каждым разом в 2 раза быстрее. Тогда у нас каждый раз будут отмечаться в два раза меньшие отрезки. Такая функция называется - показательная. Но x у нас уменьшается от нуля в сторону отритцательных чисел.

Формула Эйлера. Один из первых кто начал использовать показательные функции для вычисления сложных кривых путей с высокой точностью - был немецкий математик, который работал в России - Эйлер. Эйлер представил что в каждый маленький момент времени движение происходит вокруг определенной точки и с определенным радиусом. Таким образом все движение у Эйлера состояла из маленьких и очень маленьких шажков вокруг мнимого центра, положение которого каждый раз менялось, как и направление движения.