Probability Theory - HolmesJJ/Data-Structures-and-Algorithms GitHub Wiki

入门链接

分布列 数学期望 方差

详解

数学期望的性质有哪些?
典型例题

例题解释(状态转移规则)

问题: 抛一枚不均匀的硬币,公的概率Pr(heads) = p,字的概率Pr(tails) = (1 – p),如果要得到至少一个公,抛硬币的次数的期望是多少?

解答:
假设T为抛的次数(期望),那么如果抛到字,则重新开始抛,即再抛T次。

第一次抛到字,则重新抛;第二次抛到字,则重新抛;第三次抛到字,则重新抛...
观察规律
E[X] = p(1) + (1 – p)(p)(2) + (1 – p)(1 – p)(p)(3) + (1 – p)(1 – p)(1 – p)(p)(4) + ...
= p(1) + (1 – p)[(p)(1 + 1) + (1 – p)(1 – p)(p)(1 + 2) + (1 – p)(1 – p)(1 – p)(p)(1 + 3) + ...]

意味着第一次抛到字,则重新抛,可得到(1 – p) * (1 + T),这时1 + T是结束游戏所抛的次数;
第一次抛到公,结束游戏,可得到p * 1,1为结束游戏所抛的次数;
所以T = (p)(1) + (1 – p)(1 + T) = p + 1 – p + 1T – pT
所以T = 1/p

性质

  • 设X是随机变量,C是常数,则E(CX) = CE(X)
  • 设X是随机变量,B和C是常数,则E(BX + C) = CE(X) + C
  • 设X,Y是任意两个随机变量,则有E(X + Y) = E(X) + E(Y)
  • 设X,Y是相互独立的随机变量,则有E(XY) = E(X)E(Y)
  • 设C为常数,则E(C) = C
⚠️ **GitHub.com Fallback** ⚠️