数据结构与算法关系

• 罗密欧与朱丽叶的关系

两种算法的比较

1. 累加
2. （1+n）*n/2

算法定义

算法是解决待定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

算法的特性

输入输出

• 算法具有零个或多个输入
• 算法至少有一个或多个输出

有穷性

• 有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成

确定性

• 确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性

可行性

• 可行性：算法的每一步骤都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成

算法设计的要求

正确性

• 正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案 分为4个层次：

1. 算法程序没有语法错误
2. 算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果
3. 算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格的结果
4. 算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果

可读性

• 可读性：算法设计的另一个目的是为了便于阅读、理解和交流

健壮性

• 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果

时间效率高和存储量低

• 设计算法应该尽量满足时间效率高和储存量低的需求

算法效率的度量方法

事后统计方法

• 事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低

事前分析估算方法

• 事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算

1. 算法采用的策略、方法
2. 编译产生的代码质量
3. 问题的输入规模
4. 机器执行指令的速度

• 一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模
• 问题输入规模是指输入量的多少
  
• 最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一系列步骤

函数的渐近增长

• 定义：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快与g(n)
• 与最高次项相乘的常数并不重要
• 最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快
• 判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项的阶数
• 某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一个算法————事前估算方法的理论依据

算法时间复杂度

算法时间复杂度定义

• 在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级
• 算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作:T(n)=O(f(n))。
• 它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称做算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其他f(n)是问题规模n的某个函数

推导大O阶方法

推导大O阶：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶

常数阶

• 执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶

线性阶

分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况

对数阶

count = count * 2

平方阶

eg：冒泡 理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力

常见的时间复杂度

最坏情况与平均情况

• 最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间
• 平均运行时间是所有情况之中最有意义的，因为它是期望的运行时间
• 一般没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度

算法空间复杂度

• 算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n)),其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数