수학 함수 - ChoDragon9/posts GitHub Wiki

대응

공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여 X의 원소에 Y의 원소를 짝지어 주는 것을 X에서 Y로의 대응이라고 한다. 이때 X의 원소 x에 Y의 원소 y가 대응하는 것을 기호로 x → y와 같이 나타내며 x에 y가 대응한다고 한다.

함수

두 집합 X, Y에 대하여 X의 각 원소에 Y의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수라고 하며, 이것을 기호로 f : X → Y와 같이 나타낸다. 함수는 보통 f, g, h 등의 알파벳 소문자를 이용하여 나타낸다.

함수의 성질

• 모든 정의역은 대응되어야 한다.
• 정의역은 두개 이상의 대응은 될 수 없다.
• 공집합은 정의역와 공역이 될 수 없다.

함수의 정의역, 공역, 치역

함수 f : X → Y에 대하여

• X를 함수 f의 정의역, Y를 함수 f의 공역이라고 한다.
• X의 원소 x에 Y의 원소 y가 대응하는 것을 f : x → y, y = f(x)와 같이 나타내고, f(x)을 x에서의 함숫값이라고 한다.
• 함숫값 전체의 집합 {f(x)|x∈X}를 함수 f의 치역이라 하고 f(X)로 나타낸다. 즉 {f(x)|x∈X} 이때 f(X)는 Y의 부분집합이다.

합성함수

세 집합 X, Y, Z에 대하여 두 함수 f: X → Y, g: Y → Z가 주어졌을 때, X의 임의의 원소 x에 Z의 원소 g(f(x))를 대응시키는 함수를 f와 g의 합성함수라 하며, 이것을 기호로 g ⋅ f : X → Z, (g ⋅ f)(x) = g(f(x)) 와 같이 나타낸다.

합성함수의 성질

• g ⋅ f ≠ f ⋅ g => 교환법칙이 성립하지 않는 다.
• (h ⋅ g) ⋅ f = h ⋅ (g ⋅ f) => 결합법칙이 성립한다. 단, 순서를 변경하지 않은 한에서 결합법칙이 성립된다.
• f : X → X일 때, f ⋅ I = I ⋅ f = f (단, I는 항등함수)

일대일함수

함수 f : X → Y에서 정의역 X의 임의의 두 원소 x1, x2에 대하여 x1 ≠ x2 이면 f(x1) ≠ f(x2) 일 때, 함수 f를 일대일함수라고 한다.

일대일대응

함수 f : X → Y에서 (1) 치역과 공역이 같고 (2) 함수 f가 일대일함수 일 때, 함수 f를 일대일대응이라고 한다.

항등함수

함수 f : X → X에서 정의역 X의 각 원소 x에 그 자신인 x가 대응할 때, 즉 f(x)=x 일 때, 함수 f를 X에서의 항등함수라고 한다.

상수함수

함수 f : X → Y에서 정의역 X의 임의의 원소 x가 공역 Y의 하나의 원소에 대응할 때, 즉 f(x)=c (c∈Y, c는 상수) 일 때, 함수 f를 상수함수라고 한다.

커링

f : (X ⋅ Y) → Z 함수가 주어질 때 커링은 새로운 함수 h : X → (Y → Z)를 만든다. h는 X의 원소를 받아 Y가 Z에 매핑하는 함수를 반환한다. h(x)(y) = f(x, y) 이와 같이 정의되며 curry(f) = h 이렇게도 사용된다.