수학 명제와조건 - ChoDragon9/posts GitHub Wiki

명제

참, 거짓을 명확하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라고 하고, 흔히 p, q, r, ...로 나타낸다. 거짓인 문장이나 식도 명제라는 것에 유의한다.

조건

미지수의 값에 따라 참, 거짓을 판별할 수 있는 문장이나 식을 조건으리고 한다. 문자 x를 포함하는 조건을 흔히 p(x), q(x), r(x)로 나타낸다.

p(x) : x + 1 = 0 일 때 p(-1)은 참인 명제이고 p(0), p(1) 등은 거짓인 명제가 된다.

진리집합

전체집한 U의 원소 중에서 조건 p가 참이 되게 하는 원소들의 집합을 조건 p의 진리집합이라고 한다. 조건 p의 진리집합을 P라고 하면 P={x|x∈U, p(x)가 참}. 조건 p(x), q(x), r(x)의 진리집합을 보통 P, Q, R로 나타낸다.

명제의 필요성

명제는 숫자도 안 나오고, 수학 같지 않은데 도대체 왜 배우는 걸까? 하고 생각할 수 있다. 앞에서 집합론은 수의 체계가 무너지지 않게 논리적으로 지탱하는 주춧돌 같은 역할을 한다고 했다. 명제 단원에서는 논리적이라는 표현의 의미가 무엇인지, 그리고 주어진 문장의 참, 거짓을 논리적으로 판단하는 방법을 배워, 논리적으로 판단하는 연습을 충분히 하면 좋은 점은, 문제를 풀 때에 실수하는 것을 막을 수 있다는 것이다. 예를 들어, 문제를 풀다가 x의 4제곱 = 1 이라는 결과를 통해 x의 값을 구해야 하는 경우, 논리적 판단 없이 익숙함에 의존하면 x = ±1이라고 구할 수 있다. 하지만 명제 단원에서 배울 명제들 사이의 관계를 생각해서, 반드시 x = ±1이어야 x의 4제곱 = 1이 성립할지 의심해보면, 이 문제는 x가 실수라는 조건이 없기 때문에 복소수 영역까지 생각해서 x = ±1 또는 x = ±i라고 구해야 한다는 것을 알 수 있게 된다. 논리적인 판단력은 실수를 막아줄 뿐 아니라, 배웠던 개념들을 유기적으로 사용해야 하는 어려운 문제까지 풀 수 있게 도와준다.