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Discrete Fourier Transform

  • DFT DFT
  • Inverse DFT IDFT

Signal in x[n] und Spektralwerte in X[m].
Die Werte in X[m] sind im Allgemeinen komplex.

Wichtigste Eigenschaft der DFT: Aus N Abtastwerten x[n] einer Zeitfenstersequenz der Länge T_DFT werden N komplexe Spektralwerte im Frequenzbereich [0,fs] berechnet. N ist die Blocklänge (Anzahl Abtastwerte).

Frequenzauflösung: Die DFT teilt die Abtastfrequenz fs in Frequenzbins der Länge df = fs/N auf.

Aus Symmetriegründen ist nur die erste Hälfte des DFT-Spektrums in X[m] relevant.

Leakage

Mit der DFT wird das Spektrum der periodisch fortgesetzten Zeitfenstersequenz berechnet. Wählt man eine unpassende Fensterlänge, kann es zu Sprungstellen kommen, welche im Signal nicht enthalten waren. Das resultierende Spektrum weist dann zusätzliche, auslaufende Spektrallinien auf (Leakage).

DFT leakage

Die unerwünschten Spektrallinien des Leakage-Effekts werden dabei vor allem durch die abrupten Übergänge in der periodischen Fortsetzung verursacht. Abrupte Übergänge können durch die Verwendung von glatten, d.h. kontinuierlichen Fensterfunktionen vermieden werden [1].

Fensterung

DFT window

Mathematisch gesehen ist die Fensterung eine Multiplikation des zeitdiskreten Signals x[n] mit einer Fensterfunktion w[n]. Fensterfunktionen wie z.B. Hamming, Hann und Blackman sind Cosinusfunktionen (Visualisierung in MATLAB mit wvtool).

  • Hann window
    Hann window

  • Hamming window
    Hamming window

  • Blackman window
    Blackman window

Fast Fourier Transform

Effizientere Implementierung der DFT. Die Komplexität der FFT sinkt auf O(n*log(n)) und findet deshalb Anwendung in Echtzeitapplikationen bei vernünftiger Fensterlänge.

[1] Daniel Ch. von Grünigen, Digital Signalverarbeitung, 5. Auflage, 2014, Hanser