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⛏️ Le modulo % : Le reste utile

L’opérateur modulo (%) calcule le reste d’une division entière.

int reste = 10 % 3; // Résultat : 1

Pourquoi ? 👉 Parce que 10 ÷ 3 = 3, reste 1. Le modulo, c’est donc ce qui reste après la division entière.

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📘 Comment il faut le lire

int var = a % b;

Cela renvoie le reste de la division de a par b.

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🔍 Le modulo côté mathématique

📐 1. Définition formelle

En mathématiques, pour deux entiers a (le dividende) et b ≠ 0 (le diviseur), on peut écrire la division euclidienne ainsi :

$$ a = b \times q + r $$

où :

• q est le quotient entier de la division (a / b)
• r est le reste, c’est ce que a % b retourne
• avec la contrainte :

$$ 0 \le r < |b| $$

Donc le modulo est ce reste r après avoir enlevé autant de fois que possible des multiples de b.

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🧮 2. Exemples concrets

Exemple 1 : 17 % 5

On cherche combien de fois on peut mettre 5 dans 17, sans dépasser.

$$ 17 = 5 \times 3 + 2 $$

Donc :

• Quotient q = 3
• Reste r = 2 → 17 % 5 = 2

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Exemple 2 : -13 % 4

Java retourne un reste qui a le même signe que le numérateur (ici -13), donc :

$$ -13 = 4 \times (-4) + 3 \Rightarrow \text{mais Java dira} \quad -13 % 4 = -1 $$

Car :

$$ -13 = 4 \times (-3) + (-1) $$

Java choisit q = -3, r = -1

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🧠 Pourquoi c’est utile ?

Le concept de modulo est fondamental en arithmétique, mais il est aussi omniprésent en informatique :

Domaine	Exemple d’usage
Horloges	Heure actuelle : (heure + durée) % 24
Couleurs	Alterner 3 couleurs : index % 3
Cryptographie	Chiffrement modulaire (a^b mod n)
Maths discrètes	Nombres premiers, congruences, théorèmes
Programmation	Boucles cycliques, alternance, etc.

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📌 Résumé mathématique

Terme	Signification
Division	Trouver combien de fois b entre dans a
Quotient q	Partie entière de la division
Reste r	Ce qu’il reste après avoir soustrait q × b à a
Modulo	Le reste r → toujours entre 0 et b - 1 en math (Java va donner négatif ou 0 si a est négatif)

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🎯 Cas concrets d’utilisation

Le modulo peut paraître mystérieux au début, mais il est super utile dans beaucoup de cas pratiques :

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✅ 1. Savoir si un nombre est pair ou impair

Un nombre pair donne un reste de 0 lorsqu’il est divisé par 2.

int n = 12;
if (n % 2 == 0) {
    System.out.println("Nombre pair");
} else {
    System.out.println("Nombre impair");
}

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🔁 2. Créer des cycles / boucles périodiques

Le modulo est parfait pour revenir à 0 après un certain nombre.

Exemple : afficher les jours de la semaine (0 à 6) en boucle :

int i = 0;
for (int tour = 0; tour < 10; tour++) {
    System.out.println("Jour : " + (i % 7));
    i++;
}

➡️ Affiche : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 0, 1, 2

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🧮 3. Découper en groupes ou colonnes

Exemple : afficher les éléments d’un tableau 3 par 3 sur chaque ligne :

for (int i = 0; i < 9; i++) {
    System.out.print(i + " ");
    if ((i + 1) % 3 == 0) {
        System.out.println(); // sauter à la ligne
    }
}

➡️ Affiche :

0 1 2  
3 4 5  
6 7 8  

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🧩 4. Alterner une action un coup sur deux

for (int i = 0; i < 6; i++) {
    if (i % 2 == 0) {
        System.out.println(i + " → visible");
    } else {
        System.out.println(i + " → caché");
    }
}

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❗ À savoir : Modulo avec nombres négatifs

En Java, le signe du résultat du modulo suit le premier opérande (le numérateur).

System.out.println( 10 % 3); // 1
System.out.println(-10 % 3); // -1
System.out.println( 10 % -3); // 1
System.out.println(-10 % -3); // -1

👉 Cela peut avoir un impact si tu utilises % pour des positions dans un tableau ou des cycles — il faut parfois ajuster :

int mod = ((-1 % 7) + 7) % 7; // renvoie 6 au lieu de -1

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🧪 Exemples à tester

System.out.println(15 % 4); // 3
System.out.println(20 % 5); // 0
System.out.println(13 % 10); // 3

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Exercices

1. Quelle est la solution à ce calcul : 45 % 12?

2. Quelle est la solution à ce calcul : 234 % 33?

3. Quelle est la solution à ce calcul : 2345765432 % 3242?

4. Mentalement, faites le calcul suivant : 1234123536432435646734235523532 % 2

5. Réaliser un programme qui écrit tous les chiffres non divisible par 6 entre 1 et 100