VSILogic - 41semicolon/41semicolon.github.io GitHub Wiki

Chap01. Validity

validなinferenceはdeductiveなのとinductiveなものがある。特に前者は「premissesが全て真であるのにconclusionが真でないことがありえない」と定める。だが、その定義を確かめるには無数の可能性を検討する必要があり、実践的には不可能では？それにどう応答する？

Chap02. Interpretation

推論q,¬q/p は真理値表よりvacuously validだとわかる。もしくはq/q⋁pとq⋁p,¬q/pから納得してもよい。なお日常言語ではandやorは真理関数のように働いていないこともある。

Chap03. Names and Quantifiers

「全てのものには原因がある。それでは全ての原因は？物理的なものではないので神ではないか？」というCosmological Argumentは因果関係をCとして ∀x∃yCxyと∃x∀yCxy とを混同していると論駁できる。一方無からビッグバンが発生するという宇宙論は、発生関係をE、宇宙をcとして ¬∃Ecx で記号化できない。なぜなら収縮と膨張を繰り返す宇宙論でもこの言明は正しいから。よって無からビッグバンを経て宇宙が発生するというときには「無/nothing」とは何か物理的なものであり（量化子としてではなく）名前として働いている。

Chap04. Description

「神は（存在性を含む）perfectionを持つが故に存在する」というOntological Argumentは原理「descriptionでreferするものはdescriotionに関するpropertyを持つ」を論拠にするが、descriptionが指すものがない場合にはこの原理は成立しない。よって神の存在は"begs a question"であると論駁できる。一方 descriptionが何もreferしない場合でも真となるクラスの言明もある。「ゼウスはギリシャ人に信奉されていた」。

Chap05. Self Reference

liar paradox「この文は偽である」やRussel's paradox「自分自身を含まない集合の集合は自身を要素として含む」の真理値はどちらを仮定してもその逆を帰結するので、真かつ偽と思いたくなる。また「この文は真である」の真理値はどちらを仮定しても不都合ではありえないが任意の解釈においても真偽値を決めれないことから真でも偽でもないように思える。真理値が真と偽とを両立できるような意味論に駆り立てられるが、その場合でも矛盾が発生するので悩ましい。

Chap06. Modality

様相を含む文の真理値は到達可能なpossible worldsでの解釈にも依存するため、様相演算子は真理関数でない。さて「aならbであり得ない」は□(a→b)とa→□bの解釈を残すという意味で多義的である。前者から後者は帰結しないが、混合するとfatalismを擁護してしまう。「イベントが実際起こることが真である」をa, 「イベントが起こる」をb とすると、□(a→b)は正しく、そこからa→□bと勘違いし、a,a→□b/□b を正当化してしまう（同様に ¬a,¬a→□¬b/□¬b を正当化してしまう）。とはいえ、過去のイベントに対しては b→□b が成立し、現在のイベントに対しても未来から見れば同様のことが言えるのでこの論点からのfatalismの論駁できない

Chap07. Conditional

antecendentとconsequentを繋ぐconditional 「→」を真理関数「⊃」と同一視できない場合がある。「映画に行くならば所持金が減る」は映画館が無料の日には正しくないなど。また偽なる命題aに対しa→¬aも意味を考えると偽としたくなる。よって「→」を真理関数ではなく可能世界に依存する演算子とみなす意味論に到達する。そこではa⊃c/a→cはinvalidだと棄却される。日常言語でa⊃c/a→cが妥当なのは発話の状況がaとcの連関を含意しているから(conversational implicature)。それでもa→b,b→c/a→cやa→c/a⋀b→cという妥当な推論の反例があるのが悩ましいが…

Chap08. Temporal

時刻を空間的・一次元的に並べる意味論において、Fh&Ph,FFh&PPh,.... などは全て偽となるので、それらの両立性(Fh&Phとその否定が両立する)を主張したマクダガートの論法を論駁できる。とはいえ、このモデルは時間の本質的な側面を無視しているといわれればそうなのかもしれない（時間が流れるという点をモデルに取り込めていない）

Chap09. Identity

be動詞にはidentityの用法とpropertyの用法がある。identityの特殊な用法としてa=b,Pa/PbなるLeibniz lawは多くの場合当てはまるが、時制が混じるときに上手く応答できないことがある（例：a=b,Ga=a/Ga=bをアメーバ分裂と意味付けした時）

Chap10. Vagueness

性質の曖昧さに由来するsorites paradox は真理値を連続値にするような意味論(fuzzy logic)において、modus ponensもしくはimplicatureのどちらかが間違えているとしてしりぞけることができる（推論の妥当性は、論者のacceptabilityに依存する）。とはいえ境界を引くためにhiger-order vagunessを再配置するよう問題を先送りにしただけとも言える。

Chap11. Probability

premiss pとconclusion cに対し pr(c|p)>pr(¬c|p)で妥当な帰納的推論と約束する。なお、確率は真理関数的に働かないので真理値とは言いにくい。例えばpr(a⋁b)はaとbの真理値のみからは決まらないため。さて、reference classとして何を取るのが妥当だろうか？その取り方はconclusionの確率を与えるため循環的な議論になりはしないだろうか？

Chap12. Inverse Probability

この宇宙に人間が存在できるという奇跡が神の存在根拠となるArgument to Designの構造は、神の存在gと宇宙の構造oとして pr(o|g)>pr(o|¬g)からpr(g|o)>pr(¬g|o)を帰結するものだが、これを成り立たせるための条件はpr(g)>pr(¬g)となる。すなわち神の存在が prior probabilities となっている。ここでPrinciple of Indifferenceが重要な役割を果たしていることに注意

Chap13. Decision

「神を信じたほうが期待値が高いがゆえに信ず」というPascal's Wagerは他の嫉妬する神の存在を省略しているため期待値計算に誤りを含むと論駁できる。一方期待値だけだと誤った決定をするという反例もあるが…

Chap14. Halting Problem

コンピュータに何ができて何ができないかはHalting Theoremなどで厳密に定義できるが、algorithmは定義があいまいで直観的なものであることには注意

Chap15. Incompleteness

TBW.

Done.