Módulo II (a). Función Derivada y Diferenciación - leangior/MAP Wiki

Matemática Aplicada (Introducción a la Modelación Matemática en Cs. Ambientales)

  • Comisión Ecología: Dr. Leandro Giordano / Prof. Silvana Ávila

Módulo II: Aplicaciones de Cálculo de una Variable

Objetivo

  • Hacer uso de las herramientas de cálculo de una variable para la formulación de modelos matemáticos en la estimación de variables biofísicas, mediante las técnicas de derivación e integración (i.e. cálculo de tasas/valores extremos y de valores acumulados/valor medio, estimación de áreas y volúmenes), incorporando las nociones de diferencial de una variable y una función, por un lado, y de integración definida, por otro.

Aplicaciones

  1. Problemas de Extremos (máximos/mínimos, locales/globales, puntos de inflexión)

    • Ejemplos: Estimar rendimientos o puntos de localización óptimos. Estimar el pico y el tiempo al pico de distintas señales (e.g. concentración de un contaminante, caudal líquido en una sección fluvial)Estimar puntos de inflexión (función curvatura).
  1. Estimación del área bajo una curva y del valor medio. Estimación de volúmenes a partir de aplicación de la técnica de integración sobre curvas Área-Elevación.

    • Ejemplos: Estimar el stock o resevas acumuladas o su valor medio en un intervalo de tiempo, a partir del conocimiento de sus tasas de varaición. Extraer Curvas Área-Volumen a partir de Información Topográfica. Resampleo de señales a distinta resolución temporal.

Función derivada y Concepto de Diferencial

En el desarrollo de esta sección se asumirá que el lector está familiarizado con los conceptos básicos de función $f(x):R \to R$ de una variable real $x$ (e.g. definición, univocacidad/biyectividad, teorema de continuidad de Bolzano, funciones polinómicas y funciones trascendentales - exponenciales, logarítmicas, trigonométricas -, límites de una función, funciones invertibles y composición de funciones), propios del desarrollo de una Introducción a las Matemáticas Superiores o de las Matemáticas Generales. En todo caso, se recomienda realizar un breve repaso por los ítems mencionados.

Función Derivada

Es sabido que muchos procesos ecológicos varían continuamente en el espacio o en el tiempo, alterando las magnitudes de los factores involucrados. Por ejemplo, se sabe que la cantidad de biomasa en un organismo irá variando de acuerdo a su estado ontogenético, el cual depende del tiempo. Luego, si el proceso puede describirse a partir de una relación, al menos unívoca, entre el tiempo y la biomasa, y si llamamos $M$ a esta magnitud y $t$ al tiempo, $M(t):R \to R$ será la función que permite asignarle a cada valor real de $t$, un valor real $M$.

En este ejemplo, además debiera considerarse que $t$ estará definido para un subconjunto en el intervalo $[0,T]$ (en donde $T$ es la extensión esperada del ciclo de vida del organismo), tanto como $M$ estará definido en el intervalo $[0,M_0]$ (en donde $M_0$ será la biosama máxima que pueda alcanzar dicho organismo). Así, sería más apropiado formular $M(t):[0,T] \to [0,M_0]$ .

Particularmente, el interés en la formulación de este tipo de modelos puede residir en responder a preguntas tales cómo:

  • ¿Cuál es la tasa de crecimiento de la función $M(t)$? ¿Es caracterizable por otra función $f(t)$?

  • ¿Hay algún instante $t$ para el cual esta tasa sea máxima, nula o mínima?

  • ¿Para qué instantes $t_1,t_2,...,t_n$ la función $M(t)$ presenta máximos o mínimos locales/globales?

  • ¿Cambia la curvatura de la función $M(t)$ en algún instante?

Por lo general, una función $f(x)$ puede presentarse de 3 formas:

  • (a) Como una tabla con dos columnas, una para la variable $x$ y otra para $f(x)$ (i.e. una matriz con 2 vectores columnas $\mathbf{X}=[x_1,...,x_n]$ y $\mathbf{Y}=[f(x_1),...,f(x_n)]$)

  • (b) Como gráfica en un sistema de coordenadas rectangulares $(x,y)$ con $y=f(x)$

  • (c) Como expresión análitica o su forma explícita. Por ejemplo, la función lineal $f(x)=a_1 x+a_0$

Cualquiera de estas 3 representaciones es una función matemática, siempre y cuando se satisfaga el principio básico que establece que a cada elemento del conjunto dominio $\mathbf{X}$ le corresponda uno y sólo un elemento del conjunto imagen $\mathbf{Y}$. En este módulo se aplicarán propiedades del Cálculo de una Variable y, de ahí, se trabajará con la forma explícita. Asimismo, se utilizará la representación gráfica de las formas explícitas a fin de facilitar la interpretación de conceptos y operaciones.

La Fig.1 muestra la representación en un sistema de coordenadas rectangulares de una función $f(x)$. A la vez, se señala un subdominio o intervalo de $x$, definido para un valor $x_1$ y un valor $x_2=x_1+h$ (siendo $h$ un número real). En efecto, debido a las propiedades de las funciones (continuidad, univocidad/biyectividad), es posible afimar que este intervalo finito se encuentra asociado a un intervalo finito de f(x), definido entre $f(x_1)$ y $f(x_2)$. Ciertamente, esto puede demostrarse y sostenerse para cualquier intervalo finito de $x$.

En principio, introduzcamos la noción de incremento o diferencia finita de la variable $x$. Esto es, dados dos puntos $x_1$ y $x_2$, considerando la información del ejemplo de la Fig. 1:

$$\begin{align*} \Delta x &= x_2 - x_1 = x + h - x = h \ \end{align*}$$

A la vez, introduxcamos el concepto de incremento o diferencia finita de la función $f(x)$:

$$\begin{align*} \Delta f(x) &= f(x_2 ) - f(x_1 ) = f(x + h) - f(x) \ \end{align*}$$

Resulta evidente que el cociente de estos incrementos finitos, definido mediante:

$$\begin{align*} \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x} &= \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{align*}$$

es la pendiente de la recta secante que une los puntos $(x_1,x_2)$ y $(f(x_1),f(x_2))$.

Esto es, la tasa de incremento medio de $f(x)$ en el intervalo con límites $x_1$ y $x_2$.

Luego, se introduce el concepto de función derivada $f(x)'$ de la función $f(x)$, como el límite de este cociente cuando $\Delta x \to 0$ (o lo que es lo mismo, $h \to 0$):

$$\begin{align} f(x)'=\lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}} \end{align}$$

La interpretación geométrica es la siguiente: si $\Delta x \to 0$, luego también $\Delta f(x) \to 0$ . Consecuentemente, en el límite, la recta secante de la Fig. 1 se transformará en una recta tangente, aquella que pasa solamente por el punto con coordenadas $x_1$ y $f(x_1)$. Luego, el límite del cociente de estos incrementos finitos representa la tasa de cambio local o instantánea de $f(x)$ en $x_1$, cuyo valor será igual a la pendiente de esta recta tangente a $f(x)$ en $x_1,f(x_1)$.

Noción de diferencial. Derivada como cociente de diferenciales

Asimismo, se introduce la noción de diferencial de una variable $x$, como el límite de $\Delta x$ cuando $h \to 0$:

$$dx=\lim_{h \to 0} \Delta x$$

En otras palabras, el diferencial de una variable es una diferencia infinitesimal. Coloquialmente, 'tan pequeña como podamos imaginar y aun más, hasta dejar de imaginarlo'. Estrictamente, una diferencia infinitamente pequeña.

Del mismo modo, se introduce la noción de diferencial de una función $f(x)$ como el límite del incremento finito $\Delta f(x)$ cuando $h \to 0$ o lo que es lo mismo cuando $\Delta x \to 0$:

$$df(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \Delta f(x)$$

Y así puede observarse también que se sostiene la siguiente igualdad:

$$\begin{align} f(x)'&=\lim_{\Delta x \to 0}{\dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}} \ f(x)'&={\dfrac{df(x)}{dx}} \end{align}$$

Asimismo, puede observase que se deduce $f(x)'dx=df(x)$. Esto es, se establece que el incremento infinitesimal de una función es igual al producto entre la derivada de la función $f(x)$ y el diferencial de la variable $dx$. Esto será fundamental para entender en mayor profundidad, posteriormente, el cálculo integral (puesto que $f(x)'dx$ será el integrando).

que establece que la derivada de una función $f(x)$ queda dada mediante el cociente entre ambos diferenciales.

Luego, la pregunta en términos de aplicación será por qué es conveniente la adopción de estas nociones, de la definición de la derivada en términos de un cociente de diferenciales. La respuesta directa es, la diferenciación es una operación y luego $d$ es un operador. Así, si se conocen las propiedades de la diferenciación, el cómputo de la derivada es directo.

Así también, como la derivada $f'(x)$ de la función $f(x)$ representa la tasa de cambio local o instantánea, será útil para detectar máximos (picos) o mínimos (valles), puesto que es sabido que cuando se alcanza un pico o un valle la pendiente de $f(x)$ es 0 (verifique). Además, se debe saber que:

  • Toda función $f(x)'$ puede derivarse recursivamente al menos hasta que el valor de la función derivada obtenida sea una constante $k$, como ya veremos (la derivada de una constante es igual a 0, pues la pendiente es 0).

Así, la $n$-énesima derivada de $f(x)$ será aquella función $g(x)$ que se obtiene al iterar(repetir) $n$-veces la operación de derivación sobre $f(x)$ (una vez que se obtiene una derivada, se vuelve a realizar al operación hasta cumplir con $n$ operaciones).

Una aplicación de importancia de esto es el estudio de la segunda derivada de $f(x)$, comúnmente denotada como $f(x)''$. Esta función describe la curvatura de $f(x)$ y será de importante aplicación para la detección de cambios en la curvatura.

Así como primer derivada se denota mediante $f(x)'$, la segunda se denota mediante $f(x)''$ y así en adelante. Asimismo, la notación diferencial es más conveniente, pues permite una mayor generalización. En esta se define a la derivada de orden $n$ como aquella función definida mediante la operación: $$\dfrac{d^n f(x)}{dx^n}$$.